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有界区間

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)以上かつ\(b\)以下であるようなすべての実数からなる集合を、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)から\(b\)への閉区間(closed interval from \(a\) to \(b\))と呼びます。また、\(a\)と\(b\)を端点(end point)と呼びます。

端点\(a,b\)はともに閉区間\(\left[ a,b\right] \)の要素であるため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。さらに、その上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であり、これらはともに非空であるため、閉区間\(\left[ a,b\right] \)は有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より\(\left[ a,b\right] \)の上限と下限が存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\sup \left[ a,b\right] &=&b \\
\inf \left[ a,b\right] &=&a
\end{eqnarray*}となります。

例(閉区間)
加法単位元\(0\)と乗法単位元\(1\)の間には\(0<1\)が成り立つため、これらを端点とする閉区間\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}を考えることができます。また、正の実数\(a>0\)を任意に選んだとき、これは\(-a<0\)と必要十分であるため、\(<\)の推移律より\(-a<a\)が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\left[ 0,a\right] &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0\leq x\leq a\right\} \\
\left[ -a,0\right] &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -a\leq x\leq 0\right\} \\
\left[ -a,a\right] &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -a\leq x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}などはいずれも閉区間です。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)より大きく\(b\)より小さいすべての実数からなる集合を、\begin{equation*}
\left( a,b\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)から\(b\)への開区間(open interval from \(a\) to \(b\))と呼びます。

有理数の稠密性より\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)に対して、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数もまた実数であるため、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。さらに、その上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( \left( a,b\right) \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( \left( a,b\right) \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であり、これらはともに非空であるため、開区間\(\left( a,b\right) \)は有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より\(\left( a,b\right) \)の上限と下限が存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\sup \left( a,b\right) &=&b \\
\inf \left( a,b\right) &=&a
\end{eqnarray*}となります。

例(開区間)
加法単位元\(0\)と乗法単位元\(1\)の間には\(0<1\)が成り立つため、これらを端点とする開区間\begin{equation*}
\left( 0,1\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}を考えることができます。また、正の実数\(a>0\)を任意に選んだとき、これは\(-a<0\)と必要十分であるため、\(<\)の推移律より\(-a<a\)が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\left( 0,a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0<x<a\right\} \\
\left( -a,0\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -a<x<0\right\} \\
\left( -a,a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -a<x<a\right\}
\end{eqnarray*}などはいずれも開区間です。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)以上かつ\(b\)より小さいすべての実数からなる集合を、\begin{equation*}
\lbrack a,b)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)から\(b\)への右半開区間(right half open interval from \(a\) to \(b\))と呼びます。また、\(a\)より大きく\(b\)以下であるようなすべての実数からなる集合を、\begin{equation*}
(a,b]=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x\leq b\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)から\(b\)への左半開区間(left half open interval from \(a\) to \(b\))と呼びます。右半開区間と左半開区間を総称して半開区間(half open interval)と呼びます。

端点\(a\)は右半開区間\([a,b)\)の要素であり、端点\(b\)は左半開区間\((a,b]\)の要素であるため、半開区間は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。さらに、これらの上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( [a,b)\right) &=&U\left( (a,b]\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( [a,b)\right) &=&L\left( (a,b]\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であり、これらはともに非空であるため、半開区間は有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より半開区間の上限と下限が存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\sup [a,b) &=&\sup (a,b]=b \\
\inf [a,b) &=&\inf (a,b]=a
\end{eqnarray*}となります。

例(半開区間)
加法単位元\(0\)と乗法単位元\(1\)の間には\(0<1\)が成り立つため、これらを端点とする半開区間\begin{eqnarray*}
\lbrack 0,1) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0\leq x<1\right\} \\
(0,1] &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0<x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}を考えることができます。

閉区間、開区間、半開区間はいずれも有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合であるため、これらを総称して有界区間(bounded interval)と呼びます。

 

無限区間

正の無限大(positive infinity)と呼ばれる概念を\(+\infty \)で表記し、負の無限大(negative infinity)と呼ばれる概念を\(-\infty \)で表記した上で、これらを、\begin{equation*}
\forall x\in
\mathbb{R}:-\infty <x<+\infty
\end{equation*}を満たす記号として定義します。つまり、負の無限大\(-\infty \)は任意の実数より小さく、正の無限大\(+\infty \)は任意の実数よりも大きいということです。正負の無限大はいずれも数ではなく、上の関係を満たす形式的な記号にすぎないことに注意してください。

実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、ある実数が\(a\)以上であることは、その実数が\(a\)以上かつ\(+\infty \)より小さいことと必要十分です。したがって、\(a\)以上であるようなすべての実数からなる集合を、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。また、実数\(b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、ある実数が\(b\)以下であることは、その実数が\(-\infty \)より大きく\(b\)以下であることと必要十分です。したがって、\(b\)以下であるようなすべての実数からなる集合を、\begin{eqnarray*}
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <x\leq b\right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。これらを無限閉区間(infinite closed interval)と呼びます。

\([a,+\infty )\)はその端点\(a\)を要素として持ち、\((-\infty ,b]\)はその端点\(b\)を要素として持つため、無限閉区間は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。さらに、その上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( [a,+\infty )\right) &=&\phi \\
L\left( [a,+\infty )\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\} \\
U\left( (-\infty ,b]\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( (-\infty ,b]\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}となります。\(L\left( [a,+\infty )\right)\)と\(U\left( (-\infty ,b]\right) \)はともに非空であるため、\([a,+\infty )\)は下に有界であり、\((-\infty ,b]\)は上に有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より\([a,+\infty )\)の下限と\((-\infty ,b]\)の上限がそれぞれ存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\inf \left( [a,+\infty )\right) &=&a \\
\sup \left( (-\infty ,b]\right) &=&b
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\sup [a,+\infty )\)と\(\inf (-\infty ,b]\)はいずれも存在しません。

例(無限閉区間)
すべての非負な実数からなる集合\(\mathbb{R}_{+}\)とすべての非正な実数からなる集合\(\mathbb{R}_{-}\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}_{+} &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0\leq x\right\} =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0\leq x<+\infty \right\} =[0,+\infty ) \\
\mathbb{R}_{-} &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq 0\right\} =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <x\leq 0\right\} =(-\infty ,0] \end{eqnarray*}などとなるため、これらは無限閉区間です。

実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、ある実数が\(a\)より大きいことは、その実数が\(a\)より大きく\(+\infty \)より小さいことと必要十分です。したがって、\(a\)より大きいすべての実数からなる集合を、\begin{eqnarray*}
(a,+\infty ) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x<+\infty \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x\right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。また、実数\(b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、ある実数が\(b\)より小さいことは、その実数が\(-\infty \)より大きく\(b\)より小さいことと必要十分です。したがって、\(b\)より小さいすべての実数からなる集合を、\begin{eqnarray*}
(-\infty ,b) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <x<b\right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x<b\right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。これらを無限開区間(infinite open interval)と呼びます。

実数\(a,b\)をそろぞれ任意に選んだとき、アルキメデスの性質より、\(a\)より大きい実数や、\(b\)より小さい実数は必ず存在します。したがって、無限閉区間\((a,+\infty ),(-\infty ,b)\)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。その上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( (a,+\infty )\right) &=&\phi \\
L\left( (a,+\infty )\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x<a\right\} \\
U\left( (-\infty ,b)\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b<x\right\} \\
L\left( (-\infty ,b)\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}となります。\(L\left( (a,+\infty )\right) \)と\(U\left( (-\infty ,b)\right) \)はともに非空であるため、\((a,+\infty )\)は下に有界であり、\((-\infty ,b)\)は上に有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より\((a,+\infty )\)の下限と\((-\infty ,b)\)の上限がそれぞれ存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\inf \left( (a,+\infty )\right) &=&a \\
\sup \left( (-\infty ,b)\right) &=&b
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\sup (a,+\infty )\)と\(\inf (-\infty ,b)\)はいずれも存在しません。

例(無限開区間)
すべての正の実数からなる集合\(\mathbb{R}_{++}\)とすべての負の実数からなる集合\(\mathbb{R}_{–}\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}_{+} &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0<x\right\} =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0<x<+\infty \right\} =(0,+\infty ) \\
\mathbb{R}_{-} &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x<0\right\} =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <x<0\right\} =(-\infty ,0)
\end{eqnarray*}などとなるため、これらは無限開区間です。

無限開区間と無限閉区間はいずれも有界区間ではないため、これらを非有界区間(unbounded interval)や無限区間(infinite interval)などと呼びます。

 

区間の特徴づけ

負の無限大\(-\infty \)より大きく正の無限大\(+\infty \)より小さい実数からなる集合を、\begin{equation*}
\left( -\infty ,+\infty \right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <x<+\infty \right\}
\end{equation*}で表し、これを全区間(total interval)と呼びます。正負の無限大の定義より、\begin{equation*}
\mathbb{R}=\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、全区間はすべての実数からなる集合です。

有界区間\([a,b],(a,b),[a,b),(a,b]\)と無限区間\([a,+\infty ),(-\infty ,b],(a,+\infty ),(-\infty ,b)\)と全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right) \)を総称して区間(interval)と呼びます。

複数の実数を要素として持つ区間\(I\subset \mathbb{R}\)を任意に選び、さらにその要素である2つの異なる実数\(a,b\in I\)をそれぞれ任意に選びます。\(a\not=b\)であるため、\(a<b\)と\(b<a\)のどちらか一方が成り立ちますが、\(a<b\)としても一般性は失われません。このとき、\(x\in \left( a,b\right) \)すなわち\(a<x<b\)を満たす実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選ぶと、この\(x\)は明らかに区間\(I\)の要素です。つまり、区間に属する異なる2つの実数を任意に選んだとき、それらの間にある任意の実数もまたその区間に属します。

命題(区間の性質)
複数の実数を要素として持つ区間\(I\subset \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\forall a,b\in I:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in I\right] \end{equation*}が成り立ちます。
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実は、この命題の逆もまた成立します。つまり、複数の実数を要素として持つ\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation}
\forall a,b\in A:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in A\right] \tag{1}
\end{equation}が成り立つ場合には、\(A\)は区間であることが保証されます。

証明のスケッチは以下の通りです。まず、論理的な可能性としては、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\text{が上に有界かつ下に有界である場合} \\
&&\left( b\right) \ A\text{が上に有界で下に有界ではない場合} \\
&&\left( c\right) \ A\text{が上に有界ではなく下に有界である場合} \\
&&\left( d\right) \ A\text{が上に有界ではなく下に有界でもない場合}
\end{eqnarray*}の4通りが考えられます。\(\left( a\right) \)の場合、\(\mathbb{R}\)の連続性より\(\sup A\)と\(\inf A\)がともに存在するとともに、上限と下限の定義より、\begin{equation*}
\forall x\in A:\inf A\leq x\leq \sup A
\end{equation*}が成り立ちます。閉区間の定義より、これは、\begin{equation}
A\subset \left[ \inf A,\sup A\right] \tag{2}
\end{equation}と言い換え可能です。仮定より\(A\)は2つ以上の実数を要素として持つため\(\inf A<\sup A\)です。そこで、\(x\in \left( \inf A,\sup A\right) \)すなわち\(\inf A<x<\sup A\)を満たす実数\(x\)を任意に選ぶと、上限と下限の定義および有理数の稠密性より、\begin{equation*}
\exists a,b\in A:\inf A<a<x<b<\sup A
\end{equation*}が成り立ちます。すると仮定\(\left( 1\right) \)より\(x\in A\)が成り立つため、\begin{equation}
\left( \inf A,\sup A\right) \subset A \tag{3}
\end{equation}であることが示されました。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\(A\)は開区間\(\left( \inf A,\sup A\right) \)か閉区間\(\left[ \inf A,\sup A\right] \)、もしくは半開区間\([\inf A,\sup A),(\inf A,\sup A]\)のいずれかであるため、\(A\)は区間です。

\(\left( b\right) ,\left( c\right) ,\left( d\right) \)の場合については演習問題とします。

命題(区間であるための条件)
複数の実数を要素として持つ\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}
\forall a,b\in A:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in A\right] \end{equation*}を満たすならば、\(A\)は区間である。
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上の2つの命題より、区間を以下のように特徴づけることができます。

命題(区間であるための条件)
複数の実数を要素として持つ\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}
\forall a,b\in A:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in A\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が区間であるための必要十分条件である。
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次回は絶対値や距離について学びます。

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