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ベキ級数と収束半径

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ベキ級数

数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)および実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の数列\begin{equation*}\left\{ a_{n}\left( x-c\right) ^{n}\right\} =\left\{ a_{0},a_{1}\left(
x-c\right) ,a_{2}\left( x-c\right) ^{2},a_{3}\left( x-c\right) ^{3},\cdots
\right\}
\end{equation*}が定義可能です。この数列の項からなる無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}\left( x-c\right) ^{n}=a_{0}+a_{1}\left(
x-c\right) +a_{2}\left( x-c\right) ^{2}+a_{3}\left( x-c\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}を\(c\)を中心とする係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数(power series centered at \(c\) with \(\left\{a_{n}\right\} \))と呼びます。

点\(0\)を中心とする係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}となりますが、これを特に、原点まわりの係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数(power series around the origin with \(\left\{ a_{n}\right\} \))と呼びます。

例(ベキ級数)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ 1\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。

例(ベキ級数)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \frac{1}{n!}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{n!}x^{n}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{24}x^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。

例(ベキ級数)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ n!\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }n!x^{n}=1+x+2x^{2}+6x^{3}+24x^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。

例(ベキ級数)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)を、\begin{equation*}a_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
\left( -1\right) ^{k} & \left( if\ \exists k\in \mathbb{R} _{+}:n=2^{k}\right) \\
0 & \left( if\ otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義します。つまり、\begin{equation*}
\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ 0,1,-1,0,1,0,0,0,-1,\cdots \right\}
\end{equation*}です。係数が\(\left\{ a_{n}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=x-x^{2}+x^{4}-x^{8}+\cdots
\end{equation*}となります。

例(ベキ級数)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)を、\begin{equation*}a_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ n=0\right) \\
\frac{\left( -1\right) ^{n+1}}{n} & \left( if\ n\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義します。係数が\(\left\{ a_{n}\right\} \)であるような点\(1\)を中心とするベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}\left( x-1\right) ^{n}=\left( x-1\right) -\frac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+\frac{1}{3}\left( x-1\right) ^{3}-\frac{1}{4}\left(
x-1\right) ^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。

点\(c\)を中心とする係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}\left( x-c\right) ^{n}=a_{0}+a_{1}\left(
x-c\right) +a_{2}\left( x-c\right) ^{2}+a_{3}\left( x-c\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ここで、\begin{equation*}
y=x-c
\end{equation*}と定義すれば、点\(c\)を中心とする係数\(\left\{a_{n}\right\} \)のベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}y^{n}=a_{0}+a_{1}y+a_{2}y^{2}+a_{3}y^{3}+\cdots
\end{equation*}となり、原点まわりの係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数が得られます。

以上のように考えることにより、任意のベキ級数を原点まわりの級数とみなすことができます。そこで、以降では原点まわりのベキ級数を対象に議論を行います。

 

ベキ級数の収束半径

数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられれば、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、原点まわりのベキ級数\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\quad \cdots (1)
\end{equation}が定義可能です。

\(x=0\)である場合に\(\left( 1\right) \)は\(a_{0}\)と一致するため、\(\left( 1\right) \)は有限な実数として定まります。また、\(x\not=0\)であるとともに、数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)の有限個の項が非ゼロであり、それ以外の任意の項がゼロである場合には、\(\left( 1\right) \)は有限個の実数の和となります。有限個の実数の和は有限な実数であるため、この場合、\(\left( 1\right) \)は有限な実数として定まります。以上のいずれのケースでもない場合には、すなわち、\(x\not=0\)であるとともに、数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)の無限個の項が非ゼロである場合には、\(\left( 1\right) \)は無限個の実数の和となるため、その収束可能性が問題になります。以降では、ベキ級数の絶対収束可能性について議論します。

係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)に関する原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}は変数\(x\in \mathbb{R} \)を含む形で定義されているため、絶対収束可能性を判定するためには\(x\)の値を具体的に指定する必要があります。先の議論より、\(x=0\)の場合にはベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)は\(a_{0}\)と一致するため、この場合には\(\sum a_{n}x^{n}\)は明らかに絶対収束します。そこで、以下の条件\begin{equation*}S\not=0
\end{equation*}を満たす何らかの実数\(S\in \mathbb{R} \)に対して、\(x=S\)の場合にベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が収束する状況を想定します。つまり、以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}S^{n}=a_{0}+a_{1}S+a_{2}S^{2}+a_{3}S^{3}+\cdots
\end{equation*}が収束するということです。この場合、以下の条件\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert <\left\vert S\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が絶対収束することが保証されます。

命題(ベキ級数の収束半径)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられたとき、非ゼロの実数\(S\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}S^{n}
\end{equation*}が収束するものとする。この場合、以下の条件\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert <\left\vert S\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}
\end{equation*}は絶対収束する。

証明

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係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)に関する原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}
T\not=0
\end{equation*}を満たす何らかの実数\(T\in \mathbb{R} \)に対して、\(x=T\)の場合にベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が発散する状況を想定します。つまり、以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}T^{n}=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\cdots
\end{equation*}が発散するということです。この場合、以下の条件\begin{equation*}
\left\vert T\right\vert <\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が発散することが保証されます。

命題(ベキ級数の収束半径)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられたとき、非ゼロの実数\(T\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}T^{n}
\end{equation*}が発散するものとする。この場合、\begin{equation*}
\left\vert T\right\vert <\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}
\end{equation*}は発散する。

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以上の2つの命題を用いることにより以下が導かれます。

命題(ベキ級数の収束半径)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられたとき、それに対して、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert x\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert x\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられたとき、それに対して、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert x\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert x\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことが明らかになりました。そこで、この値\(R\)をベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}
\end{equation*}の収束半径(radius of convergence)と呼びます。

ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径が\(R\)であることは、\(\left\vert x\right\vert <R\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとでベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)は絶対収束する一方で、\(\left\vert x\right\vert >R\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとでベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)は発散することを意味します。\(\left\vert x\right\vert =R\)の場合には、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が絶対収束する場合と発散する場合の双方のパターンが起こり得ます。

特に、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径が\(R=0\)であることは、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)は\(x=0\)の場合にのみ絶対収束することを意味します。

逆に、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径が\(R=+\infty \)であることは、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)のもとで絶対収束することを意味します。

 

ダランベールの判定法を用いた収束半径の特定

ベキ級数に対しては収束半径が必ず定まることが明らかになりました。では、収束半径の水準を具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。ダランベールの判定法を用いることにより以下が導かれます。

命題(ダランベールの判定法を用いた収束半径の特定)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)の項がいずれも非ゼロである場合には数列\(\left\{\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert \right\} \)が定義可能である。この数列の極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert =r
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ r\not=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}\frac{1}{r} \\
&&\left( B\right) \ r=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}+\infty \\
&&\left( C\right) \ r=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}0
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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例(ベキ級数の収束半径)
原点まわりの係数\(\left\{a_{n}\right\} =\left\{ 1\right\} \)のベキ級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{1}{1}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=\frac{1}{1}=1
\end{equation*}です。したがって、\(\left\vert x\right\vert <1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束する一方で、\(\left\vert x\right\vert >1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は発散します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} &=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \\
\sum_{n=0}^{+\infty }\left( \frac{1}{3}\right) ^{n} &=&1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots
\end{eqnarray*}などは絶対収束する一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{+\infty }2^{n} &=&1+2+4+8+\cdots \\
\sum_{n=0}^{+\infty }3^{n} &=&1+3+9+27+\cdots
\end{eqnarray*}などは発散します。ちなみに、\(x=1\)の場合の級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }1^{n}=1+1+1+1+\cdots
\end{equation*}ですが、これは発散します。また、\(x=-1\)の場合の級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}=1-1+1-1+\cdots
\end{equation*}ですが、これも発散します。したがって、与えられた級数が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -1,1\right)
\end{equation*}です。

例(ベキ級数の収束半径)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \frac{1}{n!}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{n!}x^{n}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{24}x^{4}+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\frac{1}{\left( n+1\right) !}}{\frac{1}{n!}}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=+\infty
\end{equation*}です。したがって、任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1^{n}}{n!} &=&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots
\\
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{2^{n}}{n!} &=&1+2+\frac{4}{2}+\frac{8}{6}+\cdots
\end{eqnarray*}などは絶対収束します。したがって、与えられた級数が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}です。

例(ベキ級数の収束半径)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ n!\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }n!x^{n}=1+x+2x^{2}+6x^{3}+24x^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left( n+1\right) !}{n!}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=0
\end{equation*}です。したがって、\(x=0\)の場合にのみ\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。

 

コーシー・アダマールの判定法を用いた収束半径の特定

ダランベールの判定法を用いてベキ級数の収束判定を特定するためには、前提として、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)の項がいずれも非ゼロである必要があります。一方、コーシー・アダマールの判別法を用いる場合、そのような制約を気にする必要はありません。

命題(コーシー・アダマールの判定法を用いた収束半径の特定)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)に対して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}と定義する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ r\not=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}\frac{1}{r} \\
&&\left( B\right) \ r=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}+\infty \\
&&\left( C\right) \ r=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}0
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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演習問題

問題(ベキ級数の収束判定)
以下のベキ級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}x^{n}=x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。その上で、このベキ級数が収束する\(x\)の範囲を特定してください。
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問題(ベキ級数の収束判定)
以下のベキ級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( x+3\right) ^{n}}{n!}=1+\left( x+3\right) +\frac{1}{2}\left( x+3\right) ^{2}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。その上で、このベキ級数が収束する\(x\)の範囲を特定してください。
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問題(ベキ級数の収束判定)
以下のベキ級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }nx^{n}=x+2x^{2}+3x^{3}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。

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