確認テストII（実数の定義）

以下の問いに答えてください。

1. 非空の集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の上限であることの定義と、\(a\)が\(A\)の下限であることの定義を述べてください。（5点）
2. 上限性質と下限性質（上限や下限を用いた実数の連続性の表現）とはどのような命題でしょうか。述べてください。（5点）
3. 非空かつ有界な集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられているものとします。その上で、集合\(B\subset \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}B=\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in A:y=-5x\right\} \end{equation*}と定義します。このとき、\begin{equation*}
   \sup B=-5\inf A
   \end{equation*}が成り立つことを示してください。（10点）

以下の集合の上限と下限を特定してください。証明する必要はありません。（各5点）

1. \(A=(-4,3]\cup (5,7]\)
2. \(B=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}<1\right\} \)
3. \(C=\left\{ \frac{15n-1}{3n+1}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \)

実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して定義される以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r<x\right\}
\end{equation*}に関して、\begin{equation*}
\sup A=x
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

正の実数\(x>0\)に対して定義される以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r^{2}<x\right\}
\end{equation*}に関して、\begin{equation*}
\sup A=\sqrt{x}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

2つの異なる正の実数の間には有理数の平方として表される実数が存在すること、すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} _{++}:\left( x<y\Rightarrow \exists r\in \mathbb{Q} :x<r^{2}<y\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。

1. \(x>0\)に対して定義される以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ 0\leq r\wedge x<r^{2}\right\} \end{equation*}の下限\(\inf A\)が存在することを示してください。（5点）
2. \(m=\inf A\)とおいたとき、\begin{equation*}m^{2}\leq x\end{equation*}が成り立つことを示してください。（15点）
3. 以上の結果を踏まえた上で、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} _{++}:\left( x<y\Rightarrow \exists r\in \mathbb{Q} :x<r^{2}<y\right)
   \end{equation*}が成り立つことを示してください。（15点）