公理主義のもとでは\(\mathbb{R}\)を完備な順序体として定義します。

実数

実数の公理系

これまでの議論を要約すると、公理主義のもとでは\(\mathbb{R}\)を完備な順序体として定義するということです。

具体的には、まず、\(\mathbb{R}\)上に定義された加法\(+\)と乗法\(\cdot \)という演算は体としての以下の性質\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( B\right) \ \exists 0\in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R}:x+0=0+x=x \\
&&\left( C\right) \ \forall x\in \mathbb{R},\ \exists -x\in \mathbb{R}:x+\left( -x\right) =\left( -x\right) +x=0 \\
&&\left( D\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:x+y=y+x \\
&&\left( E\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( F\right) \ \exists 1\in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R}:x\cdot 1=1\cdot x=x \\
&&\left( G\right) \ \forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R}:x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1 \\
&&\left( H\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( I\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z \\
&&\left( J\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( K\right) \ 0\not=1
\end{eqnarray*}を満たすものと定めます。また、\(\mathbb{R}\)上に定義された大小関係\(\leq \)という順序は全順序としての以下の性質\begin{eqnarray*}
&&\left( L\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:x\leq x \\
&&\left( M\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[(x\leq y\ \wedge \ y\leq x)\ \Rightarrow \ x=y] \\
&&\left( N\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:[(x\leq y\ \wedge \ y\leq z)\ \Rightarrow \ x\leq z] \\
&&\left( O\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:(x\leq y\ \vee \ y\leq x)
\end{eqnarray*}を満たすものと定めます。さらに、演算\(+,\cdot \)と順序\(\leq \)の間には順序体としての以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( P\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x\leq y\ \Rightarrow \ x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( Q\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:\left[ \left( 0\leq x\ \wedge \ 0\leq y\right) \ \Rightarrow \ 0\leq x\cdot
y\right] \end{eqnarray*}が成り立つものと定めます。最後に、\(\mathbb{R}\)は連続性と呼ばれる以下の性質\begin{equation*}
\left( R\right) \ \forall A\subset \mathbb{R}:\left[ \left( A\not=\phi \ \wedge \ U\left( A\right) \not=\phi \right) \
\Rightarrow \ \exists \sup A\right] \end{equation*}を満たすものと定めます。ただし、連続性を、\begin{equation*}
\left( R^{\prime }\right) \ \forall A\subset \mathbb{R}:\left[ \left( A\not=\phi \ \wedge \ L\left( A\right) \not=\phi \right) \
\Rightarrow \ \exists \sup A\right] \end{equation*}と表現することもできます。もしくは、デデキントの切断を用いて、\begin{equation*}
\left( R^{\prime \prime }\right) \ \mathbb{R}\text{の任意の切断}\left\langle A,B\right\rangle \text{について}\max A\text{と}\min B\text{のどちらか一方が存在する。}
\end{equation*}と表現することもできます。

以上が公理主義にもとづく実数の定義です。公理主義のもとでは、実数に関する命題はいずれも上の公理系から証明できてはじめて正しいものとして認められます。

次回は実数の集合に正負の無限大を加えた拡大実数系と呼ばれる概念について学びます。
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