\(\mathbb{R}\)は演算\(+,\cdot \)と大小関係\(\leq \)に関する順序体としての性質を満たすことを公理として定めます。

演算と順序の関係

加法\(+\)と乗法\(\cdot \)が定義された\(\mathbb{R}\)は体としての性質\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( B\right) \ \exists 0\in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R}:x+0=0+x=x \\
&&\left( C\right) \ \forall x\in \mathbb{R},\ \exists -x\in \mathbb{R}:x+\left( -x\right) =\left( -x\right) +x=0 \\
&&\left( D\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:x+y=y+x \\
&&\left( E\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( F\right) \ \exists 1\in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R}:x\cdot 1=1\cdot x=x \\
&&\left( G\right) \ \forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R}:x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1 \\
&&\left( H\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( I\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z \\
&&\left( J\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( K\right) \ 0\not=1
\end{eqnarray*}を公理として満たし、大小関係\(\leq \)が定義された\(\mathbb{R}\)は全順序集合としての性質\begin{eqnarray*}
&&\left( L\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:x\leq x \\
&&\left( M\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[(x\leq y\ \wedge \ y\leq x)\ \Rightarrow \ x=y] \\
&&\left( N\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:[(x\leq y\ \wedge \ y\leq z)\ \Rightarrow \ x\leq z] \\
&&\left( O\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:(x\leq y\ \vee \ y\leq x)
\end{eqnarray*}を公理として満たします。さらに\(\mathbb{R}\)上に定義された演算\(+,\cdot \)と順序\(\leq \)の関係を規定する以下の命題を実数の公理系として定めます。それぞれの公理の意味は以降で解説します。

公理(演算と順序の関係)
\(\mathbb{R}\)乗に定義された加法\(+\)と乗法\(\cdot \)、そして大小関係\(\leq \)は以下を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( P\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x\leq y\ \Rightarrow \ x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( Q\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:\left[ \left( 0\leq x\ \wedge \ 0\leq y\right) \ \Rightarrow \ 0\leq x\cdot
y\right] \end{eqnarray*}

 

実数の集合は加法・乗法・大小関係に関する順序体

\(\mathbb{R}\)上に定義された演算\(+,\cdot \)と順序\(\leq \)の関係を規定する公理のうち、\begin{equation*}
\left( P\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x\leq y\ \Rightarrow \ x+z\leq y+z\right)
\end{equation*}は、実数\(y\)が実数\(x\)以上ならば、それらに第 3 の実数\(z\)を足しても大小関係が保存されることを保証します。

\(\mathbb{R}\)上に定義された演算\(+,\cdot \)と順序\(\leq \)の関係を規定する公理のうち、\begin{equation*}
\left( Q\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:\left[ \left( 0\leq x\ \wedge \ 0\leq y\right) \ \Rightarrow \ 0\leq x\cdot
y\right] \end{equation*}は、非負の実数どうしの積もまた非負であることを保証します。

\(\mathbb{R}\)上に定義された加法\(+\)と乗法\(\cdot \)が体としての性質を満たし、大小関係\(\leq \)が全順序集合としての性質を満たすと同時に、それらの間に\(\left( P\right) ,\left( Q\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R}\)が演算\(+,\cdot \)と大小関係\(\leq \)に関する順序体(ordered field)であることを意味します。集合\(\mathbb{R}\)上に加法\(+\)と乗法\(\cdot \)、そして大小関係\(\leq \)が定義された順序体を\(\left( \mathbb{R},+,\cdot ,\leq \right) \)で表しますが、以降ではこれをシンプルに\(\mathbb{R}\)で表します。

次回は演算と狭義順序の区間について解説します。
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