演算と狭義順序の関係

\(\mathbb{R}\)は演算\(+,\cdot \)と狭義大小関係\(<\)に関する順序体としての性質を満たすことを示します。

演算と狭義順序の関係

\(\mathbb{R}\)上に定義された演算\(+,\cdot \)と狭義大小関係\(<\)の間には以下の関係が成り立ちます。それぞれの性質の意味は以降で解説します。

命題(演算と狭義順序の関係)
\(\mathbb{R}\)上に定義された加法\(+\)、乗法\(\cdot \)、そして狭義大小関係\(<\)の間には以下の関係が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:(x<y\ \Rightarrow x+z<y+z) \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[(0<x\ \wedge \ 0<y)\ \Rightarrow \ 0<x\cdot y] \end{eqnarray*}
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実数の集合は加法・乗法・狭義大小関係に関する順序体

\(\mathbb{R}\)上に定義された演算\(+,\cdot \)と狭義順序\(<\)の関係を規定する性質のうち、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in \mathbb{R}:(x<y\ \Rightarrow x+z<y+z)
\end{equation*}は、実数\(y\)が実数\(x\)より大きければ、それらに第 3 の実数\(z\)を足しても大小関係が保存されることを保証します。

\(\mathbb{R}\)上に定義された演算\(+,\cdot \)と狭義順序\(<\)の関係を規定する性質のうち、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R}:[(0<x\ \wedge \ 0<y)\ \Rightarrow \ 0<x\cdot y] \end{equation*}は、正の実数どうしの積もまた生であることを保証します。

\(\mathbb{R}\)上に定義された加法\(+\)と乗法\(\cdot \)は体としての性質を公理として満たします。また、全順序としての性質を満たす大小関係\(\leq \)から定義される狭義大小関係\(<\)が狭義全順序としての以下の性質\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[x<y\ \Rightarrow \lnot (y<x)] \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:[(x<y\ \wedge \ y<z)\ \Rightarrow \ x<z] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:(x<y\ \vee \ y<x\ \vee \ x=y)
\end{eqnarray*}を満たすことを以前に証明しました。これらの性質に加えて、演算\(+,\cdot \)と狭義大小関係\(<\)の間に先に示した 2 つの関係が成り立つことは、\(\mathbb{R}\)が演算\(+,\cdot \)と狭義大小関係\(<\)に関する順序体(ordered field)であることを意味します。集合\(\mathbb{R}\)上に加法\(+\)と乗法\(\cdot \)、そして狭義大小関係\(<\)が定義された順序体を\(\left( \mathbb{R},+,\cdot ,<\right) \)で表しますが、以降ではこれをシンプルに\(\mathbb{R}\)で表します。

次回からは実数の連続性について学びます。
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