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DEFINITION OF REAL NUMBER

減法

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減法

実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、実数を値として取る変数\(z\in \mathbb{R}\)に関する方程式\begin{equation}
y+z=x \quad \cdots (1)
\end{equation}を考えます。\(y\)は実数であるため、その加法単位元\(-y\)に相当する実数が存在します。また、\(\mathbb{R}\)は加法について閉じているため\(x+\left( -z\right) \)もまた実数です。そこで、方程式\(\left( 1\right) \)の解の候補として実数\(z=x+\left( -z\right) \)を考えると、\begin{align*}
y+z& =y+\left[ x+\left( -y\right) \right] \quad \because z=x+\left(
-y\right) \\
& =y+\left[ \left( -y\right) +x\right] \quad \because \ \text{加法の交換律} \\
& =\left[ y+\left( -y\right) \right] +x\quad \because \ \text{加法の結合律} \\
& =0+x\quad \because \ \text{加法逆元の定義} \\
& =x\quad \because \ \text{加法単位元の定義}
\end{align*}となるため、\(x+\left( -z\right) \)が方程式\(\left( 1\right) \)の解であることが示されました。

さらに、方程式\(\left( 1\right) \)の解が一意的であることを示すために、これが異なる2つの解\(z,z^{\prime }\)を持つものと仮定します。このとき、\(y+z=x\)と\(y+z^{\prime }=x\)が成り立ちます。すると\(y+z=y+z^{\prime }\)が成り立ちますが、加法に関する簡約法則より\(z=z^{\prime }\)となります。これは\(z\)と\(z^{\prime }\)が異なるという事実と矛盾するため、方程式\(\left( 1\right) \)の解は一意的です。

命題(減法の根拠)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、方程式\(y+z=x\)は一意的な解\(z=x+\left( -y\right) \in \mathbb{R}\)を持つ。

上の命題より、加法\(+\)が与えられたとき、実数からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、方程式\(y+z=x\)の一意的な解に相当する実数\(x+\left( -y\right) \)を定める\(\mathbb{R}\)上の二項演算が定義可能です。これを減法(subtraction)と呼び、その演算子を\(-\)で表します。さらに、減法\(-\)が実数の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して定める実数\(x+\left( -y\right) \)を、\begin{equation*}
x-y
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)と\(y\)の(difference)と呼びます。また、\(\left( x,y\right) \)に対して\(-\)を適用することを、\(x\)から\(y\)を引く(subtract)と呼びます。

 

加法単位元との減法

加法単位元\(0\)は実数であるため、これと任意の実数\(x\)との減法を考えることができますが、それについては、\begin{eqnarray*}
x-0 &=&x \\
0-x &=&-x
\end{eqnarray*}などが成り立ちます(演習問題にします)。つまり、実数から加法単位元を引いても変化は起こらず、加法単位元から実数を引くとその実数の加法逆元が得られます。

命題(加法単位元との減法)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x-0=x \\
&&\left( b\right) \ 0-x=-x
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
証明

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和や差の加法逆元

\(\mathbb{R}\)は加法と減法について閉じているため、実数\(x,y\)を任意に選んだとき、それらの和\(x+y\)や差\(x-y\)もまた実数であるため、それらの加法逆元が存在します。これについては、\begin{eqnarray*}
-\left( x+y\right) &=&-x-y \\
-\left( x-y\right) &=&y-x
\end{eqnarray*}などが成り立ちます(演習問題にします)。つまり、和や差の加法逆元はいずれも減法を用いて表現できます。

命題(和や差の加法逆元)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ -\left( x+y\right) =-x-y \\
&&\left( b\right) \ -\left( x-y\right) =y-x
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
証明

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演習問題

問題(差の加法逆元)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( -x-y\right) =x+y
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(和の加法逆元)
実数\(x,y,z\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( x+y+z\right) =-x-y-z
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(減法)
実数\(x,y,z\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x-y=\left( x+z\right) -\left( y+z\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(減法)
実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( a-b\right) +\left( c-d\right) =\left( a+c\right) -\left( b+d\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(減法)
実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( a-b\right) -\left( c-d\right) =\left( a+d\right) -\left( b+c\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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次回は乗法について解説します。

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