減法と呼ばれる二項演算は加法から間接的に定義されます。減法に関する性質もまた、加法の性質を規定する公理から証明されてはじめて正しいものとして認められます。
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減法

実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、実数を値として取る変数\(z\in \mathbb{R}\)に関する方程式\begin{equation}
y+z=x \tag{1}
\end{equation}を考えます。\(y\)は実数であるため、その加法単位元\(-y\)に相当する実数が存在します。また、\(\mathbb{R}\)は加法について閉じているため、\(x+\left( -z\right) \)もまた実数です。そこで、方程式\(\left( 1\right) \)の解の候補として実数\(z=x+\left( -z\right) \)を考えると、\begin{align*}
y+z& =y+\left[ x+\left( -y\right) \right] \quad \because z=x+\left(
-y\right) \\
& =y+\left[ \left( -y\right) +x\right] \quad \because \ \text{加法の交換律} \\
& =\left[ y+\left( -y\right) \right] +x\quad \because \ \text{加法の結合律} \\
& =0+x\quad \because \ \text{加法逆元の定義} \\
& =x\quad \because \ \text{加法単位元の定義}
\end{align*}となるため、\(x+\left( -z\right) \)が方程式\(\left( 1\right) \)の解であることが示されました。

さらに、方程式\(\left( 1\right) \)の解が一意的であることを示すために、これが異なる2つの解\(z,z^{\prime }\)を持つものと仮定します。このとき、\(y+z=x\)と\(y+z^{\prime }=x\)が成り立ちます。すると\(y+z=y+z^{\prime }\)が成り立ちますが、加法に関する簡約法則より、\(z=z^{\prime }\)となります。これは\(z\)と\(z^{\prime }\)が異なるという事実と矛盾するため、方程式\(\left( 1\right) \)の解は一意的です。

命題(減法の根拠)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、方程式\(y+z=x\)は一意的な解\(z=x+\left( -y\right) \in \mathbb{R}\)を持つ。
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上の命題より、加法\(+\)が与えられたとき、実数からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、方程式\(y+z=x\)の一意的な解に相当する実数\(x+\left( -y\right) \)を定める\(\mathbb{R}\)上の二項演算が定義可能です。これを減法(subtraction)と呼び、その演算子を\(-:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)で表します。さらに、減法\(-\)が実数の順序対\(\left( x,y\right) \)に対して定める実数\(x+\left( -y\right) \)を\(x-y\)で表し、これを\(x\)と\(y\)の(difference)と呼びます。また、\(\left( x,y\right) \)に対して\(-\)を適用することを、\(x\)から\(y\)を引く(subtract)と呼びます。

 

加法単位元との減法

実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、それと加法単位元\(0\)の減法は、\begin{equation*}
x-0=x+\left( -0\right)
\end{equation*}と定義されます。以前に示したように加法に関する簡約法則より\(\left( -0\right) =0\)が導かれるため、\begin{equation*}
x-0=x+0
\end{equation*}を得ます。さらに、加法単位元の定義より\(x+0=x\)であるため、\begin{equation*}
x-0=x
\end{equation*}を得ます。つまり、実数から加法単位元を引いても変化は起こりません。

命題(加法単位元との減法)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x-0=x
\end{equation*}が成り立つ。
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同様にして、以下を導くことができます。

命題(加法単位元との減法)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
0-x=-x
\end{equation*}が成り立つ。
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和や差の加法逆元

実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、それらの和の加法逆元\(-\left( x+y\right) \)について、\begin{equation*}
-\left( x+y\right) =-x-y
\end{equation*}が成り立つことを示します。減法の定義より、これは、\begin{equation*}
-\left( x+y\right) =\left( -x\right) +\left( -y\right)
\end{equation*}と言い換え可能です。加法逆元の定義より、さらにこれは、\begin{equation*}
\left( x+y\right) +\left[ \left( -x\right) +\left( -y\right) \right] =0
\end{equation*}と言い換え可能です。これを示すことが目標になります。実際、\begin{eqnarray*}
\left( x+y\right) +\left[ \left( -x\right) +\left( -y\right) \right] &=&\left[ x+\left( -x\right) \right] +\left[ y+\left( -y\right) \right] \quad
\because \text{加法の交換律} \\
&=&0+0\quad \because \text{加法逆元の定義} \\
&=&0\quad \because \text{加法単位元の定義}
\end{eqnarray*}となるため、目標は達成されました。

命題(和の加法逆元)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( x+y\right) =-x-y
\end{equation*}が成り立つ。
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同様にして、以下を導くことができます。

命題(差の加法逆元)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( x-y\right) =y-x
\end{equation*}が成り立つ。
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次回は乗法について解説します。

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