拡大実数系における閉集合・閉集合系

拡大実数系における閉集合・閉集合系の定義

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において、有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍は、何らかの正の実数\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義され、正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \varepsilon <x\leq +\infty \right\} \\
&=&\left( \varepsilon ,+\infty \right] \end{eqnarray*}と定義され、負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ -\infty \leq x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left[ -\infty ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義されます。点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}N\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。さらに、\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)が開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists B\in N\left( a\right) :B\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。点の近傍を踏まえると、これは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a\in A\cap \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\subset A \\
&&\left( b\right) \ +\infty \in A\Rightarrow \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :(\varepsilon ,+\infty ]\subset A \\
&&\left( c\right) \ -\infty \in A\Rightarrow \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :[-\infty ,\varepsilon )\subset A
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことと必要十分です。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)に対して、その補集合\(A^{c}=\overline{\mathbb{R} }\backslash A\)が\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists B\in N\left( a\right) :B\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合（closed sed on \(\overline{\mathbb{R} }\)）と呼びます。点の近傍を踏まえると、これは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall a\in A^{c}\cap \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\subset A^{c} \\
&&\left( b\right) \ +\infty \in A^{c}\Rightarrow \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :(\varepsilon ,+\infty ]\subset A^{c} \\
&&\left( c\right) \ -\infty \in A^{c}\Rightarrow \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :[-\infty ,\varepsilon )\subset A^{c}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことと必要十分です。

閉集合の定義より、\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の閉集合である}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の開集合である}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合であることを示すことが基本的な方針になります。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合をすべて集めることにより得られる集合族を\(\overline{\mathbb{R} }\)の閉集合系（system of closed sets）と呼び、これを、\begin{equation*}
\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}で表記します。閉集合の定義より、\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A\in \mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) &\Leftrightarrow &\forall a\in A^{c},\ \exists B\in N\left(
a\right) :B\subset A^{c} \\
&\Leftrightarrow &A^{c}\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\overline{\mathbb{R} }\)の開集合系です。

閉集合ではない集合

\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、閉集合の定義より以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の閉集合である}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の開集合である}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の開集合ではない}
\end{equation*}もまた成り立ちます。このような事情を踏まえると、\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合ではないことを示すことが基本的な方針になります。

開集合と閉集合のどちらでもない集合

\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の閉集合である}
&\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の開集合である} \\
A\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の開集合ではない}
\end{eqnarray*}はともに成り立ちます。その一方で、以下の関係\begin{eqnarray*}
A\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の開集合である} \\
A\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の開集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\overline{\mathbb{R} }\text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}はともに成り立つとは限らないことに注意が必要です。閉集合ではないことは開集合であることを必ずしも意味せず、開集合ではないことは閉集合であることを必ずしも意味しないということです。実際、閉集合と開集合のどちらでもないような集合が存在します。以下の例より明らかです。

閉集合系の性質

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\overline{\mathbb{R} }\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\overline{\mathbb{R} }\)と\(\phi \)はいずれも\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合であるということです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の閉集合の和集合もまた閉集合になるということです。

先の命題は有限個の閉集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の閉集合を選んだとき、それらの和集合は閉集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。

無限個の閉集合の和集合が閉集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の閉集合の共通部分もまた閉集合になるということです。

上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の閉集合の共通部分は閉集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の閉集合の共通部分は閉集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の閉集合の和集合は閉集合になるとは限りません。一方、無限個の閉集合の共通部分は閉集合になることが保証されます。

拡大実数系上の閉集合と実数空間上の閉集合の関係

拡大実数系上の閉集合と実数空間上の閉集合の間には以下の関係が成り立ちます。

上の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ A\cap \mathbb{R} \ |\ A\in \mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}B\in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \Leftrightarrow \exists A\in \mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :B=A\cap \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合と\(\mathbb{R} \)の共通部分をとれば\(\mathbb{R} \)上の閉集合が得られます。

演習問題