拡大実数系における演算

拡大実数系における加法

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。以上を踏まえた上で、正の無限大\(+\infty \)と負の無限大\(-\infty \)をそれぞれ、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :-\infty <x<+\infty
\end{equation*}を満たす概念として定義した上で、拡大実数系を、\begin{equation*}
\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}
\end{equation*}と定義しました。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\} \)においても加法\(+\)を定義しますが、その際に以下の公理にしたがうものと定めます。

有限な実数どうしに対して加法を適用する場合には、\(\mathbb{R} \)上に定義された加法に関する公理\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x
\end{eqnarray*}にしたがうものと定めます。つまり、\(\overline{\mathbb{R} }\)上に定義された加法\(+\)のもとでも\(\mathbb{R} \)は可換群であるということです。

有限な実数と無限大に対して加法を適用する際には、以下の公理\begin{eqnarray*}
&\forall x\in &\mathbb{R} :x+\left( +\infty \right) =\left( +\infty \right) +x=+\infty \\
&\forall x\in &\mathbb{R} :x+\left( -\infty \right) =\left( -\infty \right) +x=-\infty
\end{eqnarray*}にしたがうものと定めます。つまり、有限な実数と正の無限大の和を正の無限大と定め、有限な実数と負の無限大の和を負の無限大と定めるということです。

無限大どうしに対して加法を適用する際には、以下の公理\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}にしたがうものと定めます。つまり、正の無限大どうしの和は正の無限大であり、負の無限大どうしの和は負の無限大です。その一方で、符号の異なる無限大どうしの和\begin{eqnarray*}
&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}はいずれも定義不可能であるものと定めます。拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において定義不可能とされるものを不定形（indeterminate forms）と呼びます。

拡大実数系における減法

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においても減法\(-\)を定義しますが、その際に以下の公理にしたがうものと定めます。

有限な実数どうしに対して減法を適用する場合には、\(\mathbb{R} \)上に定義された減法の定義をそのまま継承します。つまり、有限な実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の差を、\begin{equation}x-y=x+\left( -y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義します。差\(x-y\)とは、\(x\)と\(y\)の加法逆元\(-y\)の和として定義されるということです。

有限な実数と無限大に対して減法を適用する際の準備として、無限大\(+\infty ,-\infty \)に対して、\begin{eqnarray}-\left( +\infty \right) &=&-\infty \quad \cdots (2) \\
-\left( -\infty \right) &=&+\infty \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定義します。ただし、これは\(-\infty \)が\(+\infty \)の加法逆元であることを意味するわけではなく、\(+\infty \)が\(-\infty \)の加法逆元であることを意味するわけではありません。実際、以上の定義にしたがう場合、\begin{eqnarray*}\left( +\infty \right) +\left( -\left( +\infty \right) \right) &=&\left(
+\infty \right) +\left( -\infty \right) \quad \because \left( 2\right) \\
\left( -\infty \right) +\left( -\left( -\infty \right) \right) &=&\left(
-\infty \right) +\left( +\infty \right) \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となり、これらは不定形になってしまうからです。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)はいずれも便宜的な表記であり、無限大の加法逆元の定義ではありません。いずれにせよ、減法の定義\(\left( 1\right) \)を拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)にも拡張した上で\(\left(2\right) ,\left( 3\right) \)を踏まえた場合、有限な実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x-\left( +\infty \right) &=&x+\left( -\left( +\infty \right) \right) \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&x+\left( -\infty \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\infty \quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における加法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
x-\left( -\infty \right) &=&x+\left( -\left( -\infty \right) \right) \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&x+\left( +\infty \right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&+\infty \quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における加法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) -x &=&\left( +\infty \right) +\left( -x\right) \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&+\infty \quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における加法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\left( -\infty \right) -x &=&\left( -\infty \right) +\left( -x\right) \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&-\infty \quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における加法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。結論をまとめると、有限な実数と無限大の間の差は、\begin{eqnarray*}
&\forall x\in &\mathbb{R} :x-\left( +\infty \right) =-\infty \\
&\forall x\in &\mathbb{R} :x-\left( -\infty \right) =+\infty \\
&\forall x\in &\mathbb{R} :\left( +\infty \right) -x=+\infty \\
&\forall x\in &\mathbb{R} :\left( -\infty \right) -x=-\infty
\end{eqnarray*}となります。

無限大どうしに対して減法を適用する際には、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&\left( +\infty \right)
+\left( -\left( -\infty \right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \quad \because \left(
3\right) \\
&=&+\infty \quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における加法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&\left( -\infty \right)
+\left( -\left( +\infty \right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&-\infty \quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における加法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&\left( +\infty \right)
+\left( -\left( +\infty \right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}は不定形であり、\begin{eqnarray*}
\left( -\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&\left( -\infty \right)
+\left( -\left( -\infty \right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \quad \because \left(
3\right)
\end{eqnarray*}もまた不定形です。結論をまとめると、符号が異なる無限大どうしの差については、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}となる一方で、符号が一致する無限大どうしの差\begin{eqnarray*}
&&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) -\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}は不定形です。

拡大実数系における乗法

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においても乗法\(\cdot \)を定義しますが、その際に以下の公理にしたがうものと定めます。

有限な実数どうしに対して乗法を適用する場合には、\(\mathbb{R} \)上に定義された乗法に関する公理\begin{eqnarray*}&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x
\end{eqnarray*}にしたがうものと定めます。つまり、\(\overline{\mathbb{R} }\)上に定義された乗法\(\cdot \)のもとでも\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は可換群であるということです。

有限な実数と無限大に対して乗法を適用する際には、以下の公理\begin{eqnarray*}
&\forall x\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :x\cdot \left( +\infty \right) =\left( +\infty
\right) \cdot x=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad x>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right. \\
&\forall x\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :x\cdot \left( -\infty \right) =\left( -\infty
\right) \cdot x=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad x>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}にしたがうものと定めます。つまり、無限大に正の実数をかけても無限大の符号はそのままですが、無限大に負の実数をかけると無限大の符号が変わります。その一方で、ゼロと無限大の積\begin{eqnarray*}
&&0\cdot \left( +\infty \right) \\
&&\left( +\infty \right) \cdot 0 \\
&&0\cdot \left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) \cdot 0
\end{eqnarray*}はいずれも不定形であるものと定めます。ただし、測度論など特定の分野においては、無限大とゼロの積をゼロと定義する場合もあります。

無限大どうしに対して乗法を適用する際には、以下の公理\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&+\infty \\
\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&-\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}にしたがうものと定めます。つまり、同一符号の無限大どうしの積は正の無限大である一方で、符号が異なる無限大どうしの積は負の無限大です。

拡大実数系における除法

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においても除法\(\backslash \)を定義しますが、その際に以下の公理にしたがうものと定めます。

有限な実数どうしに対して減法を適用する場合には、\(\mathbb{R} \)上に定義された減法の定義をそのまま継承します。つまり、有限な実数\(x\in \mathbb{R} \)および非ゼロの有限な実数\(y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の差を、\begin{equation}\frac{x}{y}=x\cdot y^{-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義します。商\(\frac{x}{y}\)とは、\(x\)と\(y\)の乗法逆元\(y^{-1}\)の積として定義されるということです。

有限な実数と無限大に対して除法を適用する際の準備として、無限大\(+\infty ,-\infty \)に対して、\begin{eqnarray}\left( +\infty \right) ^{-1} &=&\frac{1}{+\infty }=0 \quad \cdots (2) \\
\left( -\infty \right) ^{-1} &=&\frac{1}{-\infty }=0 \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定義します。ただし、これは\(0\)が\(+\infty \)の乗法逆元であることを意味するわけではなく、\(0\)が\(-\infty \)の乗法逆元であることを意味するわけではありません。実際、以上の定義にしたがう場合、\begin{eqnarray*}\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) ^{-1} &=&\left( +\infty
\right) \cdot 0\quad \because \left( 2\right) \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) ^{-1} &=&\left( -\infty
\right) \cdot 0\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となり、これらは不定形になってしまうからです。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)はいずれも便宜的な表記であり、無限大の乗法逆元の定義ではありません。いずれにせよ、除法の定義\(\left( 1\right) \)を拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)にも拡張した上で\(\left(2\right) ,\left( 3\right) \)を踏まえた場合、有限な実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{x}{+\infty } &=&x\cdot \left( +\infty \right) ^{-1}\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&x\cdot 0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0\quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における乗法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\frac{x}{-\infty } &=&x\cdot \left( -\infty \right) ^{-1}\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&x\cdot 0\quad \because \left( 3\right) \\
&=&0\quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における乗法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、非ゼロの実数\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{+\infty }{x} &=&\left( +\infty \right) \cdot x^{-1}\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad x>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における乗法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\frac{-\infty }{x} &=&\left( -\infty \right) \cdot x^{-1}\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad x>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \overline{\mathbb{R} }\text{における乗法の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
&&\frac{+\infty }{0} \\
&&\frac{-\infty }{0}
\end{eqnarray*}はともに不定形であるものと定めます。結論をまとめると、有限な実数と無限大の間の商は、\begin{eqnarray*}
&\forall x\in &\mathbb{R} :\frac{x}{+\infty }=0 \\
&\forall x\in &\mathbb{R} :\frac{x}{-\infty }=0 \\
&\forall x\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\frac{+\infty }{x}=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad x>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right. \\
&\forall x\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\frac{-\infty }{x}=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad x>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
&&\frac{+\infty }{0} \\
&&\frac{-\infty }{0}
\end{eqnarray*}は不定形です。

演習問題