拡大実数系における順序

拡大実数系における大小関係

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。以上を踏まえた上で、正の無限大\(+\infty \)と負の無限大\(-\infty \)をそれぞれ、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :-\infty <x<+\infty
\end{equation*}を満たす概念として定義した上で、拡大実数系を、\begin{equation*}
\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}
\end{equation*}と定義しました。

狭義大小関係\(<\)は大小関係\(\leq \)から間接的に定義される概念であり、具体的には、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} \)上の二項関係として\(<\)は定義されます。\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)は狭義全順序であり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x<y\wedge y<z\right) \Rightarrow x<z\right] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x<y\vee y<x\vee x=y\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成り立ちます。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においても大小関係\(\leq \)や狭義大小関係\(<\)を定義しますが、その際に以下の公理にしたがうものと定めます。

有限な実数どうしを比較する際には、\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係に関する公理\begin{eqnarray*}&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{eqnarray*}にしたがうものと定めます。つまり、\(\overline{\mathbb{R} }\)上に定義された大小関係\(\leq \)のもとでも\(\mathbb{R} \)は全順序集合であるということです。

有限な実数と無限大を比較する際には、以下の公理\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :-\infty <x<+\infty
\end{equation*}にしたがうものとします。したがって、無限大どうしの大小関係については、\begin{equation*}
-\infty <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の定義を踏まえると、\(\overline{\mathbb{R} }\)もまた全順序集合になることが保証されます。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上における区間を以下のように表記します。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( x,+\infty \right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x<y<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <y<x\right\} \\
\left[ x,+\infty \right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x\leq y\leq +\infty \right\} \\
\left[ -\infty ,x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ -\infty \leq y\leq x\right\} \\
\left[ x,+\infty \right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x\leq y<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <y\leq x\right\} \\
\left( x,+\infty \right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x<y\leq +\infty \right\} \\
\left[ -\infty ,x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ -\infty \leq y<x\right\} \\
\left( -\infty ,+\infty \right) &=&\mathbb{R} \\
\left[ -\infty ,+\infty \right] &=&\overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}と定めます。

拡大実数集合の最大値・最小値

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)の最大値と最小値については、実数集合\(\mathbb{R} \)の場合と同様に定義します。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある拡大実数\(a\)が、同じ集合\(A\)に属する任意の拡大実数以上である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、この要素\(a\)を\(A\)の最大値と呼び、そのことを、\begin{equation*}\max A=a
\end{equation*}で表記します。つまり、集合\(A\)の最大値\(\max A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq \max A
\end{equation*}を満たす拡大実数として定義されます。集合\(A\)の最大値は\(A\)の要素である必要があります。つまり、\begin{equation*}\max A\in A
\end{equation*}です。\(A\)に属さない拡大実数は\(A\)の最大値になり得ません。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある拡大実数\(a\)が、同じ集合\(A\)に属する任意の拡大実数以下である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、この要素\(a\)を\(A\)の最小値と呼び、そのことを、\begin{equation*}\min A=a
\end{equation*}で表記します。つまり、集合\(A\)の最小値\(\min A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in A:\min A\leq x
\end{equation*}を満たす拡大実数として定義されます。集合\(A\)の最小値は\(A\)の要素である必要があります。つまり、\begin{equation*}\min A\in A
\end{equation*}です。\(A\)に属さない拡大実数は\(A\)の最小値になり得ません。

拡大実数集合の上界・下界

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)の上界と下界については、実数集合\(\mathbb{R} \)の場合と同様に定義します。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある拡大実数\(a\)が、この集合\(A\)に属する任意の拡大実数以上である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \overline{\mathbb{R} },\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、この拡大実数\(a\)を\(A\)の上界と呼びます。最大値とは異なり、\(A\)の上界は\(A\)の要素である必要はありません。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)の上界をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ a\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \forall x\in A:x\leq a\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、\(A\)の上界が存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}U\left( A\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)は上に有界であると言います。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、無限大の定義より、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
+\infty \in U\left( A\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
U\left( A\right) \not=\phi
\end{equation*}を得ます。したがって、拡大実数系においては、その任意の非空な部分集合が上に有界になります。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある拡大実数\(a\)が、この集合\(A\)に属する任意の拡大実数以下である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \overline{\mathbb{R} },\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、この拡大実数\(a\)を\(A\)の下界と呼びます。最小値とは異なり、\(A\)の下界は\(A\)の要素である必要はありません。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)の下界をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ a\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \forall x\in A:a\leq x\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、\(A\)の下界が存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}L\left( A\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)は下に有界であると言います。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、無限大の定義より、\begin{equation*}\forall x\in A:-\infty \leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
-\infty \in L\left( A\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
L\left( A\right) \not=\phi
\end{equation*}を得ます。したがって、拡大実数系においては、その任意の非空な部分集合が下に有界になります。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界かつ下に有界である場合には、つまり、\begin{equation*}U\left( A\right) \not=\phi \wedge L\left( A\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)は有界であると言います。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない任意の部分集合は上に有界かつ下に有界であるため、\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない任意の部分集合は有界です。

拡大実数集合の上限・下限

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)の上限と下限については、実数集合\(\mathbb{R} \)の場合と同様に定義します。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、その上界からなる集合\(U\left( A\right) \)は非空であるため、その最小値\begin{equation*}\min U\left( A\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。この最小値が存在する場合、それを\(A\)の上限と呼び、\begin{equation*}\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。定義より、\(\sup A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sup A\in U\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :\sup A\leq y
\end{eqnarray*}をともに満たす拡大実数として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in \overline{\mathbb{R} }:\left[ \left( \forall x\in A:x\leq y\right) \Rightarrow \sup A\leq y\right] \end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であることを意味し、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の拡大実数であることを意味します。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)は上界を持ちます。\(A\)の上界の中に有限な実数が存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}U\left( A\right) \cap \mathbb{R} \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\mathbb{R} \)の連続性より、その上限\(\sup A\)が有限な実数として定まります。つまり、\begin{equation*}\sup A\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。一方、\(A\)の上界の中に有限な実数が存在しない場合には、すなわち、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が成り立つ場合には、正の無限大\(+\infty \)だけが\(A\)の上界になります。このとき、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つ一方で、以下の条件\begin{equation*}
+\infty <y
\end{equation*}を満たす拡大実数\(y\in \overline{\mathbb{R} }\)は存在しないため、\begin{equation*}\sup A=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、拡大実数系においては、その任意の非空な部分集合が上限を持つことが明らかになりました。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、その下界からなる集合\(L\left( A\right) \)は非空であるため、その最大値\begin{equation*}\max L\left( A\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。この最大値が存在する場合、それを\(A\)の下限と呼び、\begin{equation*}\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。定義より、\(\inf A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \inf A\in L\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in L\left( A\right) :y\leq \inf A
\end{eqnarray*}をともに満たす拡大実数として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in \overline{\mathbb{R} }:\left[ \left( \forall x\in A:y\leq x\right) \Rightarrow y\leq \inf A\right] \end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であることを意味し、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の拡大実数であることを意味します。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の空でない部分集合\(A\)は下界を持ちます。\(A\)の下界の中に有限な実数が存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}L\left( A\right) \cap \mathbb{R} \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\mathbb{R} \)の連続性より、その下限\(\inf A\)が有限な実数として定まります。つまり、\begin{equation*}\inf A\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。一方、\(A\)の下界の中に有限な実数が存在しない場合には、すなわち、\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が成り立つ場合には、負の無限大\(-\infty \)だけが\(A\)の下界になります。このとき、\begin{equation*}\forall x\in A:-\infty \leq x
\end{equation*}が成り立つ一方で、以下の条件\begin{equation*}
y<-\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(y\in \overline{\mathbb{R} }\)は存在しないため、\begin{equation*}\inf A=-\infty
\end{equation*}となります。したがって、拡大実数系においては、その任意の非空な部分集合が下限を持つことが明らかになりました。

拡大実数の絶対値

拡大実数の絶対値については、実数の絶対値と同様に定義します。

有限な実数\(x\in \mathbb{R} \)については、その絶対値は、\begin{equation}\left\vert x\right\vert =\max \left\{ x,-x\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。以上の定義を踏まえると、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が導かれます。

正の無限大\(+\infty \)についても同様に考えると、\begin{eqnarray*}\left\vert +\infty \right\vert &=&\max \left\{ +\infty ,-\left( +\infty
\right) \right\} \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\max \left\{ +\infty ,-\infty \right\} \quad \because -\left( +\infty
\right) =-\infty \\
&=&+\infty \quad \because -\infty <+\infty
\end{eqnarray*}となり、負の無限大\(-\infty \)についても同様に考えると、\begin{eqnarray*}\left\vert -\infty \right\vert &=&\max \left\{ -\infty ,-\left( -\infty
\right) \right\} \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\max \left\{ -\infty ,+\infty \right\} \quad \because -\left( -\infty
\right) =+\infty \\
&=&+\infty \quad \because -\infty <+\infty
\end{eqnarray*}となります。結論を整理すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert +\infty \right\vert &=&+\infty \\
\left\vert -\infty \right\vert &=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

演習問題