上極限と下極限を用いた拡大実数列の収束判定
拡大実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が拡大実数\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立つこととは、\(a\in \mathbb{R} \)の場合には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}を意味し、\(a=+\infty \)の場合には、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}>\lambda \right)
\end{equation*}を意味し、\(a=-\infty \)の場合には、\begin{equation*}\forall \Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}<\Lambda \right)
\end{equation*}を意味します。
一方、拡大実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の上極限と下極限はそれぞれ、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup
\left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\} \\
\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf
\left\{ x_{n},x_{n+1},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}と定義されるとともに、これらはそれぞれ拡大実数として定まることが保証されますが、両者が一致することは、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成り立つことは、もとの拡大実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が拡大実数へ収束するための必要十分条件です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、拡大実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は上極限や下極限と一致します。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup
x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が拡大実数へ収束するための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup
x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{l}
x_{1}=+\infty \\
x_{n}=\frac{1}{n-1}\quad \left( n\geq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}として与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n-1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、同じことを先の命題を用いて示します。\begin{eqnarray*}
S_{1} &=&\sup \left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ +\infty ,1,\frac{1}{2},\cdots \right\} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}である一方で、\(n\geq 2\)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ \frac{1}{n-1},\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots \right\} \\
&=&\frac{1}{n-1}
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
S_{1}=+\infty \\
S_{n}=\frac{1}{n-1}\quad \left( n\geq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n-1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
s_{1} &=&\inf \left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ +\infty ,1,\frac{1}{2},\cdots \right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方で、\(n\geq 2\)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ \frac{1}{n-1},\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots \right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=0
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }s_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf
f\left( x_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちますが、これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、同じことを先の命題を用いて示します。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ n,n+1,n+2,\cdots \right\} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}S_{n}=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。また、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ n,n+1,n+2,\cdots \right\} \\
&=&n
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=n
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }s_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf
f\left( x_{n}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちますが、これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
+\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、同じことを先の命題を用いて示します。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ +\infty ,+\infty ,+\infty ,\cdots \right\} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}S_{n}=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。また、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ +\infty ,+\infty ,+\infty ,\cdots \right\} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }s_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf
f\left( x_{n}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちますが、これは先の結果と整合的です。
上極限と下極限を用いた拡大実数列の非収束判定
先の命題は拡大実数列が収束するための必要十分条件を与えているため、拡大実数列が収束しないことを示す上でも有用です。
拡大実数\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上極限と下極限はそれぞれ拡大実数として定まることが保証されるとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\sup
x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}<\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束しないことと必要十分です。
\end{equation*}であるものとします。それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}S_{n} &=&\sup \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\sup \left\{ \left( -1\right) ^{n},\left( -1\right) ^{n+1},\left(
-1\right) ^{n+2},\cdots \right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}S_{n}=1
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\inf \left\{ x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\cdots \right\} \\
&=&\inf \left\{ \left( -1\right) ^{n},\left( -1\right) ^{n+1},\left(
-1\right) ^{n+2},\cdots \right\} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であるため、拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=-1
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf x_{n}<\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。
演習問題
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
+\infty & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}として与えられているものとします。この拡大実数列は収束するでしょうか。判定してください。
\end{equation*}として与えられているものとします。この拡大実数列は収束するでしょうか。判定してください。
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