拡大実数列
無限個の拡大実数を順番に並べたもの\begin{equation*}
x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}を拡大実数列（sequence of extended real numbers）と呼びます。数学では有限個の実数を並べたものを拡大実数列として扱いません。拡大実数列は無限に続く拡大実数の列です。
拡大実数列をフォーマルな形で表現します。拡大実数列とは無限個の拡大実数を順番に並べたものであるため、それを総体的に表現するためには拡大実数を構成する1番目の拡大実数\(x_{1}\)、2番目の拡大実数\(x_{2}\)、3番目の拡大実数\(x_{3}\)、\(\cdots \)などをすべて特定する必要があります。ただ、拡大実数列は無限個の拡大実数の並びであるため、このような作業を実際に無限回行うことは不可能です。とは言え、このような作業を「それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して拡大実数\(x_{n}\in \overline{\mathbb{R} }\)を1つずつ定めること」として一般化できるため、拡大実数列を表現することとは、\(\mathbb{N} \)から\(\overline{\mathbb{R} }\)への写像を与えることと実質的に同じです。そのようなこともあり、拡大実数列を写像\begin{equation*}x:\mathbb{N} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}として定義することもできます。この写像\(x\)がそれぞれの自然数\(n\)に対して定める像\(x\left( n\right) \)は拡大実数列を構成する\(n\)番目の拡大実数です。
通常、写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域の値\(a\in A\)に対して定める像を\(f\left( a\right) \in B\)と表記しますが、拡大実数に相当する写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して定める像\(x\left(n\right) \in \overline{\mathbb{R} }\)に関しては、これを、\begin{equation*}x_{n}
\end{equation*}と表記し、拡大実数列の項（term）と呼びます。拡大実数列そのものを\(\left\{ x_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\)や\(\left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)、もしくはよりシンプルに\(\left\{ x_{n}\right\} \)と表現することもできます。
自然数を\(1\)から始まる整数と定義するのであれば、拡大実数列を構成する前から\(n\)番目の項は\(x_{n}\)であり、これを拡大実数列の第\(n\)項（\(n\)-th term）と呼びます。特に、拡大実数列の最初の項\(x_{1}\)を初項（first term）と呼びます。
拡大実数列の第\(n\)項\(x_{n}\)が具体的な形で与えられているならば、\(x_{n}\)中の\(n\)に具体的な自然数を代入することによりすべての項を具体的な形で特定できます。つまり、\(x_{n}\)は拡大実数列のすべての項を一般的に表現したものであるため、これを拡大実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項（general term）と呼びます。拡大実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(x_{n}\)の形が分かっている場合には、その拡大実数列を「一般項が\(x_{n}\)の拡大実数列」と呼びます。
\end{equation*}である場合、個々の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&3\cdot 1+1=4 \\
x_{2} &=&3\cdot 2+1=7 \\
x_{3} &=&3\cdot 3+1=10 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
\end{equation*}である場合、個々の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( -1\right) ^{1}\cdot \left( +\infty \right) =-\infty \\
x_{2} &=&\left( -1\right) ^{2}\cdot \left( +\infty \right) =+\infty \\
x_{3} &=&\left( -1\right) ^{3}\cdot \left( +\infty \right) =-\infty \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
拡大実数列の表現方法（明示式と再帰式）
拡大実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(x_{n}\)が具体的な形で与えられれば、\(x_{n}\)中の\(n\)に具体的な自然数を代入することにより、この拡大実数列のそれぞれの項を具体的に特定できます。このような文脈において拡大実数列の一般項を明示式（explicit formula）と呼び、明示式を通じて拡大実数列を表現することを拡大実数列の明示的な表現（explicit expression）と呼びます。
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
+\infty & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}によって明示的に表現されている場合、この拡大実数列の各項を、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&1 \\
x_{2} &=&+\infty \\
x_{3} &=&3 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という形で特定できます。
拡大実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(x_{n}\)が明らかである場合には、\(x_{n}\)中の\(n\)に自然数を代入することによりその拡大実数列の任意の項をすぐに特定できます。ただ、拡大実数列の一般項が明らかでない状況においても、その拡大実数列の項の間に成立する関係式が与えられている場合には、その関係式を用いて拡大実数列の項を次々と再帰的に計算できることがあります。そこで、そのような性質を満たす関係式を再帰式（recursion formula）や漸化式（recurrence relation）などと呼び、再帰式を通じて拡大実数列を表現することを拡大実数列の再帰的な表現（recursive expression）と呼びます。
\begin{array}{l}
x_{1}=1 \\
x_{n}=\left( x_{n-1}\right) ^{2}-2\end{array}\right.
\end{equation*}によって表現されているとき、この拡大実数列の各項を、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&1 \\
x_{2} &=&\left( x_{1}\right) ^{2}-2=1^{2}-2=-1 \\
x_{3} &=&\left( x_{2}\right) ^{2}-2=\left( -1\right) ^{2}-2=-1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という形で次々と計算できます。
以下は明示式と再帰式がともに容易に導かれるような数列の例です。
\end{equation*}をとることができます。これを\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和（partial sum）と呼びます。部分和は拡大実数であるため、拡大実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和\(s_{n}\)を第\(n\)項とする新たな拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が定義可能です。つまり、この拡大実数列\(\left\{s_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}s_{1} &=&x_{1} \\
s_{2} &=&x_{1}+x_{2} \\
s_{3} &=&x_{1}+x_{2}+x_{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。このような拡大実数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)をもとの拡大実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の級数（series）や部分和の列（sequence ofpartial sums）などと呼びます。拡大実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の級数\(\left\{ s_{n}\right\} \)を明示的に表現すると、\begin{equation*}s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}
\end{equation*}となり、再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
s_{1}=x_{1} \\
s_{n}=s_{n-1}+x_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
演習問題
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ n\leq 3\right) \\
+\infty & \left( if\ n>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}で与えられているものとします。この拡大実数列の最初の5つの項を具体的に明らかにしてください。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
-\infty & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}で与えられているものとします。この拡大実数列の最初の5つの項を具体的に明らかにしてください。
\begin{array}{l}
x_{1}=1 \\
x_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
x_{n-1}+1 & \left( if\ x_{n-1}\not=3\right) \\
+\infty & \left( if\ x_{n-1}=3\right)
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{equation*}によって与えられているものとします。この拡大実数列の最初の5つの項を具体的に明らかにしてください。
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