逆双曲線余弦関数（arccosh関数）の定義と具体例

逆双曲線余弦関数

双曲線余弦関数\begin{equation*}
\cosh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(\left( -\infty ,0\right] \)上において狭義単調減少かつ\(\left[0,+\infty \right) \)上において狭義単調増加であるため双曲線余弦関数は単射ではありません。また、双曲線余弦関数の値域は\(\left[ 1,+\infty \right) \)であるため双曲線余弦関数は全射でもありません。したがって\(\mathbb{R} \)上に定義された双曲線余弦関数は全単射ではなく、したがって、その逆関数は存在しません。ただ、双曲線余弦関数の定義域を適当な範囲に制限すれば全単射を得ることができます。具体的には以下の通りです。

双曲線余弦関数の定義域を\(\left[ 0,+\infty \right) \)に制限して、\begin{equation*}\cosh \left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 0,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、この新たな定義域上で双曲線余弦関数は狭義単調増加関数になるとともに、値域は\(\left[ 1,+\infty\right) \)となります。

定義域を\(\left[ 0,+\infty \right) \)に制限した双曲線余弦関数\begin{equation*}\cosh \left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 0,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は狭義単調増加関数であるとともに、その値域は\(\left[ 1,+\infty \right) \)であることが明らかになりました。狭義単調増加関数は単射です。また、単射の終集合を値域に制限すれば全単射になります。したがって、関数\begin{equation}\cosh \left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 0,+\infty \right) \rightarrow \left[ 1,+\infty \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}は全単射であるため、その逆関数が存在します。そこで、\(\left(1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}\cosh ^{-1}\left( y\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \left[ 0,+\infty \right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\mathrm{arccosh}\left( y\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \left[ 0,+\infty \right)
\end{equation*}などで表記し、これを逆双曲線余弦関数（inverse hyperbolic cosine function）やアークハイボリックコサイン関数（arc hyperbolic cosine function）などと呼びます。順序対\(\left( x,y\right) \in \left[0,+\infty \right) \times \left[ 1,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、以下の関係\begin{equation*}y=\cosh \left( x\right) \Leftrightarrow x=\cosh ^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、逆双曲線余弦関数を、\begin{equation*}\cosh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \left[ 0,+\infty \right)
\end{equation*}と表現することもできます。逆双曲線余弦関数\(\cosh ^{-1}\left( x\right) \)の逆関数は双曲線余弦関数\begin{equation*}\cosh \left( y\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 0,+\infty \right) \rightarrow \left[ 1,+\infty \right)
\end{equation*}であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in \left[ 1,+\infty \right) \times \left[ 0,+\infty\right) \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、以下の関係\begin{equation*}y=\cosh ^{-1}\left( x\right) \Leftrightarrow x=\cosh \left( y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

対数関数を用いた逆双曲線余弦関数の表現

双曲線余弦関数\(\cosh \left(x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\cosh \left( x\right) =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されます。以上の事実と逆双曲線余弦関数\(\cosh ^{-1}\left( x\right) \)が\(\cosh \left(x\right) \)の逆関数であることを踏まえると以下が得られます。

逆双曲線余弦関数のグラフ（逆双曲線余弦曲線）

逆双曲線余弦関数\(\cosh^{-1}\left( x\right) \)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( \cosh ^{-1}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \left[
1,+\infty \right) \times \left[ 0,+\infty \right) \ |\ y=\cosh ^{-1}\left(
x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \left[ 1,+\infty \right) \times \left[
0,+\infty \right) \ |\ y=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これを逆双曲線余弦曲線（inverse hyperbolic cosine curve）やアークハイパボリックコサイン・カーブ（arc hyperbolic cosine curve）などと呼びます。逆双曲線余弦曲線を図示すると以下のようになります（青い曲線）。

\(x\in \left[ 1,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\ln \left( 2x\right) &=&\ln \left( x+x\right) \\
&>&\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \\
&=&\cosh ^{-1}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の曲線\begin{equation}
y=\ln \left( 2x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}のグラフは逆双曲線余弦曲線よりも上方に位置します（上図中の上の赤い曲線）。さらに、後ほど解説する極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ \cosh ^{-1}\left( x\right) -\ln \left(
2x\right) \right] &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) -\ln \left( 2x\right) \right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( \frac{x+\sqrt{x^{2}-1}}{2x}\right)
\\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( \frac{1+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}{2}\right) \\
&=&\ln \left( \frac{1+\sqrt{1}}{2}\right) \\
&=&\ln \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に逆双曲線余弦曲線は\(\left( 1\right) \)の曲線に限りなく近づきます。

双曲線余弦関数は狭義の単調増加関数

逆双曲線正弦関数は狭義の単調増加関数です。

逆双曲線余弦関数の値域

逆総局余弦関数は\(0\)以上の任意の実数を値としてとり得ます。つまり、逆双曲線余弦関数の値域は\(\left[ 0,+\infty\right) \)です。

逆双曲線余弦関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、逆双曲線余弦関数\begin{equation*}
\cosh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \left[ 0,+\infty \right)
\end{equation*}を定義します。\(f\)の値域が\(\cosh ^{-1}\)の定義域\(\left[1,+\infty \right) \)の部分集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \left[ 1,+\infty \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\cosh ^{-1}\left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

逆双曲線余弦関数\begin{equation*}
\cosh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \left[ 0,+\infty \right)
\end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\cosh ^{-1}\)の値域\(\mathbb{R} \)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left[ 0,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \cosh ^{-1}\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

演習問題