逆双曲線正弦関数
双曲線正弦関数\begin{equation*}
\sinh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は狭義単調増加関数であるとともにその値域は\(\mathbb{R} \)であるため全単射です。したがってその逆関数\begin{equation*}\sinh ^{-1}\left( y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在しますが、これを逆双曲線正弦関数（inverse hyperbolic sine function）やアークハイパボリックサイン関数（arc hyperbolic sine function）などと呼びます。逆双曲線正弦関数を、\begin{equation*}
\mathrm{arcsinh}\left( y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもできます。順序対\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、以下の関係\begin{equation*}y=\sinh \left( x\right) \Leftrightarrow x=\sinh ^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、逆双曲線正弦関数を、\begin{equation*}\sinh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表現することもできます。逆双曲線正弦関数\(\sinh ^{-1}\left( x\right) \)の逆関数は双曲線正弦関数\begin{equation*}\sinh \left( y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、以下の関係\begin{equation*}y=\sinh ^{-1}\left( x\right) \Leftrightarrow x=\sinh \left( y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
対数関数を用いた逆双曲線正弦関数の表現
双曲線正弦関数\(\sinh \left(x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sinh \left( x\right) =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されます。以上の事実と逆双曲線正弦関数\(\sinh ^{-1}\left( x\right) \)が\(\sinh \left(x\right) \)の逆関数であることを踏まえると以下が得られます。
\end{equation*}を定める。
&=&\ln \left( 1+\sqrt{2}\right)
\end{eqnarray*}であり、\(0\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\sinh ^{-1}\left( 0\right) &=&\ln \left( 0+\sqrt{0^{2}+1}\right) \\
&=&\ln \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\(-1\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\sinh ^{-1}\left( -1\right) &=&\ln \left( -1+\sqrt{\left( -1\right) ^{2}+1}\right) \\
&=&\ln \left( -1+\sqrt{2}\right)
\end{eqnarray*}です。
逆双曲線正弦関数のグラフ（逆双曲線正弦曲線）
逆双曲線正弦関数\(\sinh^{-1}\left( x\right) \)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( \sinh ^{-1}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\sinh ^{-1}\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これを逆双曲線正弦曲線（inverse hyperbolic sine curve）やアークハイパボリックサイン・カーブ（arc hyperbolic sine curve）などと呼びます。逆双曲線正弦曲線を図示すると以下のようになります（青い曲線）。
\(x\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\sinh ^{-1}\left( x\right) &=&\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \\
&>&\ln \left( x+x\right) \\
&=&\ln \left( 2x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の曲線\begin{equation}
y=\ln \left( 2x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}のグラフは逆双曲線正弦曲線よりも下方に位置します（上図中の上の赤い曲線）。さらに、後ほど解説する極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ \sinh ^{-1}\left( x\right) -\ln \left(
2x\right) \right] &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) -\ln \left( 2x\right) \right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( \frac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{2x}\right)
\\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln \left( \frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{2}\right) \\
&=&\ln \left( \frac{1+\sqrt{1}}{2}\right) \\
&=&\ln \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に逆双曲線正弦曲線は\(\left( 1\right) \)の曲線に限りなく近づきます。
\(x\in \mathbb{R} _{− −}\)を任意に選んだとき、\(-x\in \mathbb{R} _{++}\)であるため、\begin{eqnarray*}-\ln \left( -2x\right) &=&-\ln \left( \left( -x\right) +\left( -x\right)
\right) \\
&>&-\ln \left( \left( -x\right) +\sqrt{\left( -x\right) ^{2}+1}\right) \\
&=&-\sinh ^{-1}\left( -x\right) \\
&=&\sinh ^{-1}\left( -\left( -x\right) \right) \quad \because \sinh
^{-1}\left( x\right) \text{は奇関数} \\
&=&\sinh ^{-1}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\sinh^{-1}\left( x\right) \)が奇関数であることは後ほど証明します。以上より、以下の曲線\begin{equation}y=-\ln \left( -2x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}のグラフは逆双曲線正弦曲線よりも上方に位置することが明らかになりました（上図中の上の赤い曲線）。さらに、後ほど解説する極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left\{ \sinh ^{-1}\left( x\right) -\left[ -\ln
\left( -2x\right) \right] \right\} &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[
\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) +\ln \left( -2x\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\ln \left( -2\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right)
x\right) \\
&=&\ln \left( -2\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) x\right) \\
&=&\ln \left( -2\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{2}+x\sqrt{x^{2}+1}\right) \right) \\
&=&\ln \left( -2\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{2}+x^{2}\cdot
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\right) \right) \\
&=&\ln \left( -2\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{2}\left( 1+\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\right) \right] \right) \\
&=&\ln \left( -2\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{2}\cdot \frac{\left( 1-\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\right) \left( 1+\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\right) }{1-\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}}\right) \right) \\
&=&\ln \left( -2\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{2}\cdot \frac{1-\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}{1-\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}}\right) \right) \\
&=&\ln \left( -2\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{-1}{1-\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}}\right) \right) \\
&=&\ln \left( -2\cdot \frac{-1}{1+1}\right) \\
&=&\ln \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に逆双曲線正弦曲線は\(\left( 2\right) \)の曲線に限りなく近づきます。
双曲線正弦関数は狭義の単調増加関数
逆双曲線正弦関数は狭義の単調増加関数です。
逆双曲線正弦関数の値域
逆双曲線正弦関数は任意の実数を値として取り得ます。つまり、逆双曲線正弦関数の値域は\(\mathbb{R} \)です。
逆双曲線正弦関数の規則性
逆双曲線正弦関数に関しては以下が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合、これを奇関数（odd function）と呼びます。先の命題は逆双曲線正弦関数が奇関数であることを主張しています。
逆双曲線正弦関数との合成関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、逆双曲線正弦関数\begin{equation*}
\sinh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域は\(\sinh ^{-1}\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}\sinh ^{-1}\left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
逆双曲線正弦関数\begin{equation*}
\sinh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\sinh ^{-1}\)の値域\(\mathbb{R} \)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\mathbb{R} \subset X\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X=\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \sinh ^{-1}\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
f\left( \sinh ^{-1}\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは逆双曲線正弦関数\(\sinh ^{-1}\left( x\right) \)と有理関数\(f\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\frac{1}{\left( \sinh ^{-1}\right) ^{2}\left( x\right) +1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は逆双曲線正弦関数\(\sinh ^{-1}\left( x\right) \)と有理関数\(\frac{1}{x^{2}+1}\)の合成関数です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)と値域\(f\left( X\right) \)を特定してください。
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