逆双曲線正接関数（arctanh関数）の定義と具体例

逆双曲線正接関数

双曲線正接関数\begin{equation*}
\tanh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。双曲線正接関数は狭義単調増加関数であるため単射です。双曲線正接関数の値域は\(\left( -1,1\right) \)ですが、単射の終集合を値域に制限すれば全単射になるため、以下の関数\begin{equation}\tanh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -1,1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は全単射であり、したがってその逆関数が存在します。そこで、\(\left( 1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}\tanh ^{-1}\left( y\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}または、\begin{equation*}
\mathrm{arctanh}\left( y\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}などで表記し、これを逆双曲線正接関数（inverse hyperbolic tangent function）やアークハイパボリックタンジェント関数（arc hyperbolic tangent function）などと呼びます。順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \left( -1,1\right) \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、以下の関係\begin{equation*}y=\tanh \left( x\right) \Leftrightarrow x=\tanh ^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、逆双曲線正接関数を、\begin{equation*}\tanh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表現することもできます。逆双曲線正接関数の逆関数は双曲線正接関数\begin{equation*}
\tanh \left( y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -1,1\right)
\end{equation*}であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in \left( -1,1\right) \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、以下の関係\begin{equation*}y=\tanh ^{-1}\left( x\right) \Leftrightarrow x=\tanh \left( y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

対数関数を用いた逆双曲線正接関数の表現

双曲線正接関数\(\tanh \left(x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\tanh \left( x\right) =\frac{\sinh \left( x\right) }{\cosh \left( x\right) }=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
\end{equation*}を定めます。以上の事実と逆双曲線正接関数\(\tanh ^{-1}\left( x\right) \)が\(\tanh \left( x\right) \)の逆関数であることを踏まえると以下が得られます。

逆双曲線正接関数のグラフ（逆双曲線正接曲線）

逆双曲線正接関数\(\tanh^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \tanh ^{-1}\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \left( -1,1\right)
\times \mathbb{R} \ |\ y=\tanh ^{-1}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これを逆双曲線正接曲線（inverse hyperbolic tangent curve）やアークハイパボリックタンジェンント曲線（arc hyperbolic tangent curve）などと呼びます。逆双曲線正接曲線を図示すると以下のようになります（青い曲線）。

逆双曲線正接関数は狭義の単調増加関数

逆双曲線正接関数は狭義の単調増加関数です。

逆双曲線正接関数の値域

逆双曲線正接関数は任意の実数を値としてとり得ます。つまり、逆双曲線正接関数の値域は\(\mathbb{R} \)です。

逆双曲線正接の規則性

逆双曲線正接に関しては以下が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合、これを奇関数（odd function）と呼びます。先の命題は逆双曲線正接関数が奇関数であることを主張しています。

逆双曲線正接関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、逆双曲線正接関数\begin{equation*}
\tanh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域が\(\tanh ^{-1}\left( x\right) \)の定義域\(\left( -1,1\right) \)の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \left( -1,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\tanh ^{-1}\left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

逆双曲線正接関数\begin{equation*}
\tanh ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\tanh \left( x\right) \)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\mathbb{R} \subset X\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X=\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \tanh ^{-1}\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

演習問題