有界変動関数は有界関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :m\leq f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、これは以下の条件\begin{equation*}
\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\leq M
\end{equation*}と必要十分です。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動であることは、関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}が有限な実数として定まることを意味します。
有界変動関数は有界関数であることが保証されます。
命題（有界変動関数は有界関数）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるならば、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界である。
例（定数関数は有界かつ有界変動）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert c-c\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、正の実数\(M>0\)を適当に選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるはずです。実際、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :c\leq c\leq c
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :c\leq f\left( x\right) \leq c
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で有界です。
\end{equation*}と表されるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert c-c\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、正の実数\(M>0\)を適当に選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるはずです。実際、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :c\leq c\leq c
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :c\leq f\left( x\right) \leq c
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で有界です。
例（恒等関数は有界かつ有界変動）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}-x_{k-1}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \quad \because x_{k}>x_{k-1} \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \\
&=&x_{n}-x_{0}\quad \because \text{相殺} \\
&=&b-a\quad \because \text{分割}P\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。\(b-a>0\)は定数であるとともに、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq b-a
\end{equation*}であるため、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で有界変動です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるはずです。実際、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :a\leq x\leq b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :a\leq f\left( x\right) \leq b
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で有界です。
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}-x_{k-1}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \quad \because x_{k}>x_{k-1} \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \\
&=&x_{n}-x_{0}\quad \because \text{相殺} \\
&=&b-a\quad \because \text{分割}P\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。\(b-a>0\)は定数であるとともに、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq b-a
\end{equation*}であるため、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で有界変動です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるはずです。実際、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :a\leq x\leq b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :a\leq f\left( x\right) \leq b
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で有界です。
例（単調増加関数は有界かつ有界変動）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&\leq &\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert \quad
\because f\text{は単調増加}
\end{eqnarray*}を満たします。そこで、\begin{equation*}
M>\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert
\end{equation*}を満たす正の実数\(M>0\)を選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるはずです。実際、\(f\)は単調増加であることから、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( a\right) \leq f\left( x\right) \leq
f\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で有界です。
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&\leq &\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert \quad
\because f\text{は単調増加}
\end{eqnarray*}を満たします。そこで、\begin{equation*}
M>\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert
\end{equation*}を満たす正の実数\(M>0\)を選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるはずです。実際、\(f\)は単調増加であることから、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( a\right) \leq f\left( x\right) \leq
f\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で有界です。
例（単調減少関数は有界かつ有界変動）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は単調減少関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&\leq &\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert \quad
\because f\text{は単調減少}
\end{eqnarray*}を満たします。そこで、\begin{equation*}
M>\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert
\end{equation*}を満たす正の実数\(M>0\)を選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるはずです。実際、実際、\(f\)は単調減少であることから、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( b\right) \leq f\left( x\right) \leq
f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で有界です。
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&\leq &\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert \quad
\because f\text{は単調減少}
\end{eqnarray*}を満たします。そこで、\begin{equation*}
M>\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert
\end{equation*}を満たす正の実数\(M>0\)を選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるはずです。実際、実際、\(f\)は単調減少であることから、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( b\right) \leq f\left( x\right) \leq
f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で有界です。
有界関数は有界変動関数であるとは限らない
上の命題の主張の逆は成り立つとは限りません。つまり、有界関数は有界変動であるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（有界だが有界変動ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\cos \left( \frac{\pi }{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数の定義より、\begin{equation*}
\forall x\in \left( 0,1\right] :-1\leq \cos \left( \frac{\pi }{x}\right)
\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、これと\(f\left( 0\right) =0\)より、\begin{equation*}\forall x\in \left[ 0,1\right] :-1\leq f\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}を得ます。したがって\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界です。その一方で、この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界変動ではありません。つまり、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists P:V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(M>0\)を任意に選びます。\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\(\left[ 0,1\right] \)の分割\begin{equation*}P=\left\{ 0,\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1},\frac{1}{2n-2},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}に注目します。この分割\(P\)のもとでの\(f\)の変動は\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\left\vert f\left( \frac{1}{2n}\right) -f\left(
0\right) \right\vert +\left\vert f\left( \frac{1}{2n-1}\right) -f\left(
\frac{1}{2n}\right) \right\vert \\
&&+\cdots +\left\vert f\left( \frac{1}{2}\right) -f\left( \frac{1}{3}\right)
\right\vert +\left\vert f\left( 1\right) -f\left( \frac{1}{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \cos \left( 2n\pi \right) -0\right\vert +\left\vert \cos
\left( 2\pi n-\pi \right) -\cos \left( 2n\pi \right) \right\vert \\
&&+\cdots +\left\vert \cos \left( 2\pi \right) -\cos \left( 3\pi \right)
\right\vert +\left\vert \cos \left( \pi \right) -\cos \left( 2\pi \right)
\right\vert \\
&=&1+2+\cdots +2+2
\end{eqnarray*}となるため、十分大きい\(n\)のもとでの先の分割\(P\)をとることにより、\begin{equation*}V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において有界変動ではないことが明らかになりました。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\cos \left( \frac{\pi }{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数の定義より、\begin{equation*}
\forall x\in \left( 0,1\right] :-1\leq \cos \left( \frac{\pi }{x}\right)
\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、これと\(f\left( 0\right) =0\)より、\begin{equation*}\forall x\in \left[ 0,1\right] :-1\leq f\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}を得ます。したがって\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界です。その一方で、この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界変動ではありません。つまり、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists P:V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(M>0\)を任意に選びます。\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\(\left[ 0,1\right] \)の分割\begin{equation*}P=\left\{ 0,\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1},\frac{1}{2n-2},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}に注目します。この分割\(P\)のもとでの\(f\)の変動は\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\left\vert f\left( \frac{1}{2n}\right) -f\left(
0\right) \right\vert +\left\vert f\left( \frac{1}{2n-1}\right) -f\left(
\frac{1}{2n}\right) \right\vert \\
&&+\cdots +\left\vert f\left( \frac{1}{2}\right) -f\left( \frac{1}{3}\right)
\right\vert +\left\vert f\left( 1\right) -f\left( \frac{1}{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \cos \left( 2n\pi \right) -0\right\vert +\left\vert \cos
\left( 2\pi n-\pi \right) -\cos \left( 2n\pi \right) \right\vert \\
&&+\cdots +\left\vert \cos \left( 2\pi \right) -\cos \left( 3\pi \right)
\right\vert +\left\vert \cos \left( \pi \right) -\cos \left( 2\pi \right)
\right\vert \\
&=&1+2+\cdots +2+2
\end{eqnarray*}となるため、十分大きい\(n\)のもとでの先の分割\(P\)をとることにより、\begin{equation*}V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において有界変動ではないことが明らかになりました。
有界変動関数ではないことの証明
有界変動関数は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない関数は有界変動関数ではありません。したがって、関数が有界ではないことを示せば、その関数が有界変動ではないことを示したことになります。
例（有界変動ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{x} & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界ではありません。実際、\(f\)が\(\left[ 0,1\right]\)上で有界であるものと仮定すると、\begin{equation}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ 0,1\right] :\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\leq M \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、このとき\(M\geq 0\)であるため、\begin{equation}x=\frac{1}{M+1}\in \left[ 0,1\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}をとることができ、この\(x\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert f\left( \frac{1}{M+1}\right) \right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert M+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&>&\left\vert M\right\vert \\
&\geq &\left\vert f\left( x\right) \right\vert \quad \because \left(
1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) \right\vert >\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}となり矛盾です。ゆえに背理法より、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において有界変動ではないはずです。つまり、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists P:V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}が成り立つはずです。そこで、\(M>0\)を任意に選んだ上で、\begin{equation}M<\frac{1}{m} \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす\(m\in \left( 0,1\right) \)を選びます。\(m\rightarrow 0+\)の場合に\(\frac{1}{m}\rightarrow +\infty \)となるため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(m\)は存在します。その上で、\(\left[ 0,1\right] \)の分割\begin{equation*}P=\left\{ 0,m,1\right\}
\end{equation*}に注目します。この分割\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\left\vert f\left( m\right) -f\left( 0\right)
\right\vert +\left\vert f\left( 1\right) -f\left( m\right) \right\vert \quad
\because \text{変動の定義} \\
&=&\left\vert \frac{1}{m}-0\right\vert +\left\vert 1-\frac{1}{m}\right\vert
\quad \because f\text{の定義} \\
&\geq &\left\vert \frac{1}{m}-0\right\vert \quad \because m\in \left(
0,1\right) \\
&=&\frac{1}{m}\quad \because m\in \left( 0,1\right) \\
&>&M\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}を満たします。したがって\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界変動ではありません。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{x} & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界ではありません。実際、\(f\)が\(\left[ 0,1\right]\)上で有界であるものと仮定すると、\begin{equation}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ 0,1\right] :\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\leq M \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、このとき\(M\geq 0\)であるため、\begin{equation}x=\frac{1}{M+1}\in \left[ 0,1\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}をとることができ、この\(x\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert f\left( \frac{1}{M+1}\right) \right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert M+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&>&\left\vert M\right\vert \\
&\geq &\left\vert f\left( x\right) \right\vert \quad \because \left(
1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) \right\vert >\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}となり矛盾です。ゆえに背理法より、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において有界変動ではないはずです。つまり、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists P:V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}が成り立つはずです。そこで、\(M>0\)を任意に選んだ上で、\begin{equation}M<\frac{1}{m} \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす\(m\in \left( 0,1\right) \)を選びます。\(m\rightarrow 0+\)の場合に\(\frac{1}{m}\rightarrow +\infty \)となるため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(m\)は存在します。その上で、\(\left[ 0,1\right] \)の分割\begin{equation*}P=\left\{ 0,m,1\right\}
\end{equation*}に注目します。この分割\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\left\vert f\left( m\right) -f\left( 0\right)
\right\vert +\left\vert f\left( 1\right) -f\left( m\right) \right\vert \quad
\because \text{変動の定義} \\
&=&\left\vert \frac{1}{m}-0\right\vert +\left\vert 1-\frac{1}{m}\right\vert
\quad \because f\text{の定義} \\
&\geq &\left\vert \frac{1}{m}-0\right\vert \quad \because m\in \left(
0,1\right) \\
&=&\frac{1}{m}\quad \because m\in \left( 0,1\right) \\
&>&M\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}を満たします。したがって\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界変動ではありません。
演習問題
問題（有界変動ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{\sqrt{x}} & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界変動ではないことを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{\sqrt{x}} & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界変動ではないことを示してください。
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