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関数の定数倍の連続性(定数倍の法則)

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連続関数の定数倍の連続性

実数\(c\in \mathbb{R} \)と関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、関数\(cf\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の連続性を検討する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が連続であることを確認すればよいということになります。

命題(点において連続な関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において連続である。
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例(連続関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\(cf:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が連続関数であるものとします。つまり、\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(cf\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(cf\)もまた連続関数です。
例(連続関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義されています。恒等関数\(x\)は連続関数です。つまり、\(x\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(f\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(f\)もまた連続関数です。

 

片側連続関数の定数倍の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側連続な関数の定数倍の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において左側連続である。
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例(片側連続関数の定数倍の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\(cf:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が右側連続関数であるものとします。つまり、\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(cf\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(cf\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f\)が左側連続関数であるならば\(cf\)もまた左側連続関数です。
例(片側連続関数の定数倍の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-x\)ですが、これは恒等関数の定数倍であるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x\)であるが、これは恒等関数であるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
-x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-0 \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において右側連続であり、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において左側連続です。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}であるため\(f\)は点\(0\)において連続です。

 

演習問題

問題(関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(cf\)が連続関数である場合、\(f\)もまた連続関数であると言えるでしょうか。議論してください。
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問題(関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が連続である点をすべて明らかにしてください。

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問題(イプシロン・デルタ論法と定数倍の法則)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の命題を証明しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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