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関数の定数倍の連続性

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連続関数の定数倍の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、関数\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(点において連続な関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において連続であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において連続である。
証明

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つまり、定義域上の点\(a\)において連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた\(a\)において連続であることが保証されることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)の連続性を検討する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が連続であることを確認すればよいということになります。

例(連続関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が連続関数であるものとします。つまり、\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(c\cdot f\)もまた連続関数です。
例(連続関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義されています。恒等関数\(x\)は連続関数です。つまり、\(x\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(f\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(f\)もまた連続関数です。

 

片側連続関数の定数倍の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側連続な関数の定数倍の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)およびそれ以上の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において右側連続であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)およびそれ以下の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において左側連続であるならば、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において左側連続である。
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例(片側連続関数の定数倍の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が右側連続関数であるものとします。つまり、\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(c\cdot f\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f\)が左側連続関数であるならば\(c\cdot f\)もまた左側連続関数です。
例(片側連続関数の定数倍の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{\pi }\)倍)として定義されています。恒等関数は\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。つまり、端点\(0\)において右側連続であり、もう一方の端点\(1\)において左側連続であり、内部\(\left( 0,1\right) \)の任意の点において連続です。したがって、先に示した2つの命題より、\(f\)は点\(0\)において右側連続であり、点\(1\)において左側連続であり、内部\(\left( 0,1\right) \)の任意の点において連続です。つまり、\(f\)もまた\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。

 

演習問題

問題(関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(c\cdot f\)が連続関数である場合、\(f\)もまた連続関数であると言えるでしょうか。議論してください。
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問題(関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が連続である点をすべて明らかにしてください。

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次回は連続な関数の和として定義される関数が連続であることを示します。

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