多変数の定数関数

多変数の定数関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある特定の実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}という形で表すことができるとき、\(f\)を定数関数（constant function）と呼びます。つまり、定数関数とは入力する\(x\)の値によらず出力される値\(f\left( x\right) \)が常に一定であるような多変数関数です。

多変数の定数関数のグラフ

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=c\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,c\right) \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}となります。特に、定義域が\(\mathbb{R} ^{n}\)である場合には、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,c\right) \ |\ x\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}となります。

例（多変数の定数関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,c\right) \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これは以下のように図示されます。

多変数の定数関数との合成関数

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。また、多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、\begin{equation}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in Y:g\left( x\right) =c \quad \cdots (1)
\end{equation}であるということです。このとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&c\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、ベクトル値関数\(f\)と多変数の定数関数\(g\)の合成関数\(g\circ f\)は1変数の定数関数です。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。\begin{equation}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) =c \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。また、1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
c\in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( c\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、多変数の定数関数\(f\)と1変数関数\(g\)の合成関数\(g\circ f\)は多変数の定数関数です。

演習問題