連続性と片側連続性の関係
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このような関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。その一方で、\(f\)が点\(a\)において右側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となり、\(f\)が点\(a\)において左側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において連続である場合、\(f\)が点\(a\)において右側連続かつ左側連続であることが保証されます。
先の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において右側連続かつ左側連続である場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることが保証されます。
以上の2つの命題より、関数が連続であることと、右側連続かつ左側連続であることは必要十分であることが明らかになりました。
関数が連続であることの証明
先の命題より、関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において連続であることを示す代わりに、\(f\)が点\(a\)において右側連続かつ左側連続であることを示せばよいことが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において連続であることを片側連続性を用いて証明します。以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left\vert x_{n}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}\quad \because \left( a\right) \\
&=&0\quad \because \left( b\right) \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において右側連続です。また、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq 0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left\vert x_{n}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( -x_{n}\right) \quad \because \left(
c\right) \\
&=&-\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} \\
&=&0\quad \because \left( d\right) \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において左側連続です。したがって先の命題より、\(f\)は点\(a\)において連続です。
関数が連続ではないことの証明
先の命題は関数が連続であるための必要十分条件を与えているため、関数が連続ではないことを示す上でも有用です。つまり、関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において右側連続ではないか、または点\(a\)において左側連続ではないか、それらの少なくとも一方である場合には、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において連続ではないことを片側連続性を用いて証明します。一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}である数列に注目します。この数列の任意の項は非負であるとともに、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}=0
\end{equation*}です。その一方で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項は正であるため数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{equation*}f\left( x_{n}\right) =1
\end{equation*}であり、ゆえにその極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }1 \\
&=&1 \\
&\not=&0 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\(f\)は点\(0\)において右側連続ではありません。したがって\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\left( x\right) \)は実数\(x\)を超えない最大の整数です。以下の問いに答えてください。
- 整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(z\)において右側連続でしょうか。
- 整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(z\)において左側連続でしょうか。
- 整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(z\)において連続でしょうか。
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