関数の連続性と片側連続性の関係

関数が点において右側連続かつ左側連続であることは、その点において連続であるための必要十分条件です。

関数 連続性 片側連続性

連続性と片側連続性の関係

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において右側連続もしくは左側連続であるとは限りません。一方、関数がある点において右側連続かつ左側連続である場合には、その関数がその点において連続です。また、その逆も成立します。

命題(連続性と片側連続性の関係)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)と点\(\alpha \in I\)に対して、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。
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関数が点において右側連続もしくは左側連続ではない場合には、上の命題によると、その関数はその点において連続ではありません。そこで、\begin{equation*}
f\left( x\right) \in \left\{ m\in \mathbb{Z} |\ m\leq x<m+1\right\}
\end{equation*}と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を用いて、この事実を直感的に理解します。ちなみに上の関数\(f\)は実数\(x\)に対して\(x\)を超えない最大の整数を\(f\left( x\right) \)として返す関数です。さて、整数\(\alpha \in \mathbb{Z}\)を任意に選ぶと\(f\left( \alpha \right) =\alpha \)となります。\(f\)の\(\alpha \)における右側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =\alpha =f\left( \alpha \right)
\end{equation*}を満たすため、\(f\)は\(\alpha \)において右側連続です。一方、\(f\)の\(\alpha \)における左側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha -}f\left( x\right) =\alpha -1\not=\alpha =f\left( \alpha \right)
\end{equation*}を満たすため、\(f\)は\(\alpha \)において左側連続ではありません。\(f\)は\(\alpha \)において右側連続だが左側連続ではないことを確認しましたが、実際、このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow \alpha -}f\left( x\right)
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(\alpha \)において収束せず、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)が存在しません。したがって\(f\)は\(\alpha \)において連続ではありません。

次回は区間上に定義された関数が定義域上で連続であることの意味を解説します。
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