連続関数と演算

連続関数の定数倍、和、差、積、商などもまた連続関数であることを示します。

関数 連続

連続関数の定数倍

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、この関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)を\(c\)倍して得られる値\(c\cdot f\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。

関数\(f\)がある点において連続である場合には、関数\(c\cdot f\)もまたその点において連続です。

命題(点において連続な関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が点\(\alpha \in X\)において連続ならば関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(点において連続な関数の定数倍の連続性)
\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)と点\(2\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}x^{2}=4=f\left( 2\right)
\end{equation*}が成り立つため、関数\(f\)は点\(2\)において連続です。ここで、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を\(g\left( x\right) =\frac{1}{3}f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{3}\)と定義するとき、上の命題より、この関数\(g\)もまた点\(2\)において連続です。

上の命題は関数の定義域上の任意の点において成り立つため、以下の命題を得ます。

系(定義域上で連続な関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が定義域\(X\)上で連続ならば関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で連続である。

 

連続関数の和

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、これらの関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)を足して得られる\(f\left( x\right) +g\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。

関数\(f,g\)がともに点において連続である場合には、関数\(f+g\)もまたその点において連続です。

命題(点において連続な関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに点\(\alpha \in X\)において連続ならば関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(点において連続な関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)をそれぞれ\(f\left( x\right) =x^{2},\ g\left( x\right) =2x\)と定義します。\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}x^{2} &=&9=f\left( 3\right) \\
\lim_{x\rightarrow 3}2x &=&6=g\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、関数\(f,g\)はともに点\(3\)において連続です。ここで、関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を\(h\left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right) =x^{2}+2x\)と定義するとき、上の命題より、この関数\(h\)もまた点\(3\)において連続です。

上の命題は関数の定義域上の任意の点において成り立つため、以下の命題を得ます。

系(定義域上で連続な関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに定義域\(X\)上で連続ならば関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で連続である。

 

連続関数の差

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、これらの関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)の差\(f\left( x\right) -g\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。

関数\(f,g\)がともに点において連続である場合には、関数\(f-g\)もまたその点において連続です。

命題(点において連続な関数の差の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに点\(\alpha \in X\)において連続ならば関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(点において連続な関数の差の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)をそれぞれ\(f\left( x\right) =x^{2},\ g\left( x\right) =2x\)と定義します。\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}x^{2} &=&9=f\left( 3\right) \\
\lim_{x\rightarrow 3}2x &=&6=g\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、関数\(f,g\)はともに点\(3\)において連続です。ここで、関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を\(h\left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right) =x^{2}-2x\)と定義するとき、上の命題より、この関数\(h\)もまた点\(3\)において連続です。

上の命題は関数の定義域上の任意の点において成り立つため、以下の命題を得ます。

系(定義域上で連続な関数の差の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに定義域\(X\)上で連続ならば関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で連続である。

 

連続関数の積

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、これらの関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)の積\(f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。

関数\(f,g\)がともに点において連続である場合には、関数\(f\cdot g\)もまたその点において連続です。

命題(点において連続な関数の積の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに点\(\alpha \in X\)において連続ならば関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(点において連続な関数の積の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)をそれぞれ\(f\left( x\right) =x^{2},\ g\left( x\right) =2x\)と定義します。\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}x^{2} &=&9=f\left( 3\right) \\
\lim_{x\rightarrow 3}2x &=&6=g\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、関数\(f,g\)はともに点\(3\)において連続です。ここで、関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を\(h\left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) =x^{2}\cdot 2x\)と定義するとき、上の命題より、この関数\(h\)もまた点\(3\)において連続です。

上の命題は関数の定義域上の任意の点において成り立つため、以下の命題を得ます。

系(定義域上で連続な関数の積の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに定義域\(X\)上で連続ならば関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X\)上で連続である。

 

連続関数の商

区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、これらの関数が\(g\left( x\right) \not=0\)を満たす\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)の商\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)を\(x\)の像とする新たな関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}\)を構成できます。ただし、\(X^{\prime }=\{x\in X\ |\ g\left( x\right) \not=0\}\)です。

関数\(f,g\)がともに点において連続である場合には、関数\(\frac{f}{g}\)もまたその点において連続です。

命題(点において収束する関数の商の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに点\(\alpha \in X^{\prime }=\{x\in X\ |\ g\left( x\right) \not=0\}\)において連続ならば\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(点において連続な関数の商の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)をそれぞれ\(f\left( x\right) =x^{2}+1,\ g\left( x\right) =2x\)と定義します。\begin{eqnarray*}
&&\lim_{x\rightarrow 3}\left( x^{2}+1\right) =10=f\left( 3\right) \\
&&\lim_{x\rightarrow 3}2x=6=g\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、関数\(f,g\)はともに点\(3\)において連続です。\(g\left( 3\right) \not=0\)であるため、関数\(h\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\frac{x^{2}+1}{2x}\)は点\(3\)上で定義可能であいr、さらに上の命題より、この関数\(h\)もまた点\(3\)において連続です。

上の命題は関数の定義域上の任意の点において成り立つため、以下の命題を得ます。

系(定義域上で連続な関数の商の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに集合\(X^{\prime }=\{x\in X\ |\ g\left( x\right) \not=0\}\)上で連続ならば、関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X^{\prime }\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(X^{\prime }\)上で連続である。

次回は中間値の定理について解説します。
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