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絶対値関数の連続性

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絶対値関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が絶対値関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x>0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるということです。つまり、\(f\)は\(x\)の値に応じて恒等関数\(x\)やその定数倍\(-x\)、もしくは定数関数\(0\)になるため、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(絶対値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において連続である。
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例(絶対値関数の連続性)
全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されています。したがって先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様の議論が成立するため、\(\mathbb{R} \)上に定義された絶対値関数は\(\mathbb{R} \)上で連続ですあることが示されました。

 

絶対値関数の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(絶対値関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において右側連続であり、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において左側連続である。
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例(絶対値関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、絶対値関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(0\)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているため、絶対値関数の右側連続性より、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、\(f\)は\(1\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているため、絶対値関数の左側連続性より、\(f\)は点\(1\)において左側連続です。

次回は合成関数の連続性について解説します。

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