逆正弦関数の連続性
逆正弦関数\begin{equation*}
\arcsin \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \supset X\rightarrow \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]
\end{equation*}が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。
命題（逆正弦関数の連続性）
逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \supset X\rightarrow \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(a\)において連続である。
例（逆正弦関数の連続性）
逆正弦関数は\(\left[ -1,1\right] \)上に定義可能であるため、関数\begin{equation*}\arcsin \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]
\end{equation*}が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( -1,1\right) \)を任意に選んだとき、\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、点\(a\)において連続です。\(\left( -1,1\right) \)上の任意の点において同様であるため、\(\arcsin \left( x\right) \)は\(\left(-1,1\right) \)上で連続です。
例（逆正弦関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の内点\(a\in \left(-2,0\right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(x+1\)は点\(a\)において連続です。\(a+1\in\left( -1,1\right) \)であるため、逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( -2,0\right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( -2,0\right) \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の内点\(a\in \left(-2,0\right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(x+1\)は点\(a\)において連続です。\(a+1\in\left( -1,1\right) \)であるため、逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( -2,0\right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( -2,0\right) \)上で連続です。
例（逆正弦関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆正弦関数\(\arcsin\left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の内点\(a\in \left( -2,0\right) \)を任意に選んだとき、有理関数の連続性より、\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(a\)において連続です。\(a+1\in \left( -1,1\right) \)であるため、逆正弦関数\(\arcsin \left(x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\arcsin\left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( -2,0\right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( -2,0\right) \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆正弦関数\(\arcsin\left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の内点\(a\in \left( -2,0\right) \)を任意に選んだとき、有理関数の連続性より、\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(a\)において連続です。\(a+1\in \left( -1,1\right) \)であるため、逆正弦関数\(\arcsin \left(x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\arcsin\left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( -2,0\right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( -2,0\right) \)上で連続です。
逆正弦関数の片側連続性
片側連続性についても同様の命題が得られます。
命題（逆正弦関数の片側連続性）
逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \supset X\rightarrow \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(a\)において右側連続である。また、\(\arcsin\left( x\right) \)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\arcsin\left( x\right) \)は点\(a\)において左側連続である。
例（逆正弦関数の片側連続性）
逆正弦関数は\(\left[ -1,1\right] \)上に定義可能であるため、関数\begin{equation*}\arcsin \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]
\end{equation*}が定義可能です。定義域の端点\(-1\)に注目したとき、逆正弦関数の右側連続性より、\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(-1\)において右側連続です。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、逆正弦関数の左側連続性より、\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(-1\)において左側連続です。
例（逆正弦関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(-2\)に注目したとき、多項式関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -2+}\left( x+1\right) =-2+1=-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x+1\)は\(-1\)よりも大きい値をとりながら\(-1\)に限りなく近づきます。逆正弦関数\(\arcsin \left(x\right) \)は点\(-1\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正弦関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -1+}\arcsin \left( x\right) =\arcsin \left( -1\right) =-\frac{1}{2}\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(-1\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\arcsin
\left( x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( -2\right) &=&\arcsin \left( -2+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arcsin \left( -1\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) =f\left( -2\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(f\)は点\(-2\)において右側連続です。\(f\)が点\(0\)において左側連続であることも同様にして示されます（演習問題）。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正弦関数\(\arcsin \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(-2\)に注目したとき、多項式関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -2+}\left( x+1\right) =-2+1=-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x+1\)は\(-1\)よりも大きい値をとりながら\(-1\)に限りなく近づきます。逆正弦関数\(\arcsin \left(x\right) \)は点\(-1\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正弦関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -1+}\arcsin \left( x\right) =\arcsin \left( -1\right) =-\frac{1}{2}\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(-1\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\arcsin
\left( x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( -2\right) &=&\arcsin \left( -2+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arcsin \left( -1\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) =f\left( -2\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(f\)は点\(-2\)において右側連続です。\(f\)が点\(0\)において左側連続であることも同様にして示されます（演習問題）。
例（逆正弦関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆正弦関数\(\arcsin\left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(-2\)に注目したとき、有理関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -2+}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =\frac{\left(
-2\right) ^{2}-1}{\left( -2\right) -1}=-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x+1\)は\(-1\)よりも大きい値をとりながら\(-1\)に限りなく近づきます。逆正弦関数\(\arcsin \left(x\right) \)は点\(-1\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正弦関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -1+}\arcsin \left( x\right) =\arcsin \left( -1\right) =-\frac{1}{2}\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(-1\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\arcsin
\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( -2\right) &=&\arcsin \left( \frac{\left( -2\right) ^{2}-1}{-2-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arcsin \left( -1\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) =f\left( -2\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(f\)は点\(-2\)において右側連続です。\(f\)が点\(0\)において左側連続であることも同様にして示されます（演習問題）。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆正弦関数\(\arcsin\left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(-2\)に注目したとき、有理関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -2+}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =\frac{\left(
-2\right) ^{2}-1}{\left( -2\right) -1}=-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x+1\)は\(-1\)よりも大きい値をとりながら\(-1\)に限りなく近づきます。逆正弦関数\(\arcsin \left(x\right) \)は点\(-1\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正弦関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -1+}\arcsin \left( x\right) =\arcsin \left( -1\right) =-\frac{1}{2}\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arcsin \left( x\right) \)は点\(-1\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\arcsin
\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( -2\right) &=&\arcsin \left( \frac{\left( -2\right) ^{2}-1}{-2-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arcsin \left( -1\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) =f\left( -2\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(f\)は点\(-2\)において右側連続です。\(f\)が点\(0\)において左側連続であることも同様にして示されます（演習問題）。
演習問題
問題（逆正弦関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)が点\(0\)において左側連続であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)が点\(0\)において左側連続であることを示してください。
問題（逆正弦関数の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)が点\(0\)において左側連続であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)が点\(0\)において左側連続であることを示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】