無理関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(X\)上において連続である。

\(n\)が奇数である場合、無理関数の定義域は\(\mathbb{R} \)であるため、\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}となります。先の命題より\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。

\(n\)が偶数である場合、無理関数の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であるため、\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}となります。先の命題より\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}-3x+1\)と無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(x^{2}-3x+1\)は点\(a\)において連続です。\(3\)は奇数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、さらに\(a^{2}-3a+1\in \mathbb{R} \)であるため、無理関数の連続性より\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(a^{2}-3a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}\)すなわち\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x-4\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(3x-4\)は点\(a\)において連続です。\(2\)は偶数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、さらに\(x\geq \frac{4}{3}\)のもとでは\(3a-4\in \mathbb{R} _{+}\)であるため、無理関数の連続性より\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(3a-4\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}\)すなわち\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の連続性より\(\frac{x+1}{\left(1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において連続です。\(3\)は奇数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、さらに\(\frac{a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\in \mathbb{R} \)であるため、無理関数の連続性より\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}\)すなわち\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{4}{x+3}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left( -3,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(\frac{4}{x+3}\)は点\(a\)において連続です。\(2\)は偶数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、さらに\(x>-3\)のもとでは\(\frac{4}{a+3}\in \mathbb{R} _{+}\)であるため、無理関数の連続性より\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(\frac{4}{a+3}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}\)すなわち\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( -3,+\infty \right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( -3,+\infty \right) \)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。以下が成り立つ。

1. \(n\)が奇数であるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において右側連続である。また、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において左側連続である。
2. \(n\)が偶数であるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上において右側連続である。また、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上において左側連続である。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。