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無理関数の連続性

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無理関数の連続性

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(x^{\frac{1}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(無理関数の連続性)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{\frac{1}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)において連続である。
証明

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例(無理関数の連続性)
\(n\)が奇数である場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} \)であるため、以下の関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)の任意の点において同様であるため、\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(無理関数の連続性)
\(n\)が偶数である場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)であるため、以下の関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\)の任意の点において同様であるため、\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。
例(無理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}-3x+1\)と無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(x^{2}-3x+1\)は点\(a\)において連続です。\(3\)は奇数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、したがって\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(a^{2}-3a+1\)および周辺の任意の点において定義されているため、無理関数の連続性より、\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(a^{2}-3a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(無理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x-4\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(3x-4\)は点\(a\)において連続です。\(2\)は偶数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、したがって\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(3a-4\)および周辺の任意の点において定義されているため、無理関数の連続性より、\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(3a-4\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)上で連続です。
例(無理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の連続性より、\(\frac{x+1}{\left(1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において連続です。\(3\)は奇数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、したがって\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)および周辺の任意の点において定義されているため、無理関数の連続性より、\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上で連続です。
例(無理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{4}{x+3}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left( -3,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(\frac{4}{x+3}\)は点\(a\)において連続です。\(2\)は偶数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、したがって\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(\frac{4}{a+3}\)および周辺の任意の点において定義されているため、無理関数の連続性より、\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(\frac{4}{a+3}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( -3,+\infty \right) \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\left(-3,+\infty \right) \)上で連続です。

 

無理関数の片側連続性

片側連続性に関しても先と同様の命題が成り立ちます。

命題(無理関数の片側連続性)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{\frac{1}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)において右側連続である。また、\(x^{\frac{1}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)において左側連続である。
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例(無理関数の連続性)
自然数\(n\)を任意に選んだとき、有界閉区間上に無理関数\(x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( 1,2\right) \)を任意に選んだとき、無理関数の連続性より、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(1\)に注目したとき、無理関数の右側連続性より、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(1\)において右側連続です。定義域の端点\(2\)に注目したとき、無理関数の左側連続性より、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(2\)において左側連続です。したがって、\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\left[ 1,2\right] \)上で連続です。

 

演習問題

問題(無理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
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