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有理関数の連続性

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有理関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(有理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において連続である。
証明

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例(有理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様の議論が成立するため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
例(有理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x-1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において同様の議論が成立するため、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上で連続です。
例(有理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x+3}{x^{2}-13x+30}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \)上の任意の点において同様の議論が成立するため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3,10\right\} \)上で連続です。

 

有理関数の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(有理関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において右側連続であり、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において左側連続である。
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例(有理関数の片側連続性)
関数\(f:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x}{3x-1}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(0\)に注目すると、\(f\)は点\(0\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の右側連続性より、\(f\)は点\(a\)において右側連続です。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目すると、\(f\)は点\(1\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の左側連続性より、\(f\)は点\(a\)において左側連続です。

次回は絶対値関数の連続性について解説します。

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