連続関数と収束列の関係

関数が点において連続であることは収束列の概念を用いて表現することも可能であることを示します。

連続関数 収束数列

収束列を用いた連続関数の表現

関数が収束することを収束列を用いて表現できるのと同様に、関数が連続であることもまた収束列を用いて表現可能です。そのことを確認する前に、収束関数と収束列の関係を復習します。

命題(収束関数と収束列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\alpha \)とは異なる\(X\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件である。
収束関数と収束列の関係について復習する

上の関数\(f\)が点\(\alpha \)において連続であるものとしましょう。まず、\(f\)が\(\alpha \)において連続であることは\(f\)の\(\alpha \)における極限が\(f\left( \alpha \right) \)と一致することを意味するため、上の命題において\(\beta \)を\(f\left( \alpha \right) \)に置き換える必要があります。また、\(f\)が\(\alpha \)において連続である場合には\(f\)は\(\alpha \)において必ず定義されているため、\(x\)を\(\alpha \)に近づける際に\(x=\alpha \)の場合を除外する必要はありません。つまり、上の命題中の「\(\alpha \)とは異なる\(X\)の点をとりながら」の部分は不要です。同様の理由により、「\(\alpha \in \mathbb{R} \)」の部分を「\(\alpha \in X\)」に置き換える必要があります。

以上を踏まえると、関数が点において連続であることを以下のように表現できます。

命題(連続関数と収束列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(\alpha \in X\)が与えられたとき、\(X\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( \alpha \right) \)が成り立つことは、\(f\)が\(\alpha \)において連続であるための必要十分条件である。
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例(連続関数と収束列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されるものとします。一般項が\begin{equation*}
x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)に注目します。この数列は\(2\)へ収束します。また、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について\(x_{n}>2\)であるため、数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}
f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}となり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 5+\frac{1}{n}\right) =5
\end{equation*}となります。一方、\(f\)の定義より、\begin{equation*}
f\left( 2\right) =2+1=3
\end{equation*}となるため、\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \)と\(f\left( 2\right) \)は一致しません。上の命題より、このような性質を満たす数列\(\{x_{n}\}\)が存在することは\(f\)が\(2\)において連続ではないことを意味します。

次回は関数の連続性と距離や位相の関係について解説します。
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