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関数

収束関数と有界関数の関係

目次

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有界な関数

実数空間\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(U\)が\(A\)の任意の要素以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq U
\end{equation*}が成り立つならば、\(U\)を\(A\)の上界と呼びます。また、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域、すなわち\(f\left(x\right) \)がとり得る値からなる集合\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか検討できます。関数\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)が上に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(f\)は上に有界である(bounded from above)であると言います。また、値域\(f\left( X\right) \)の上界を関数\(f\)の上界(upper bound)と呼びます。

例(上に有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ -x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&(-\infty ,0] \end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立ち、したがって\(f\)は上に有界です。\(0\)は\(f\)の上界の1つですが、\(0\)以上の任意の実数もまた\(f\)の上界です。
例(上に有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (0,1]\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( (0,1]\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は上に有界ではありません。実際、実数\(U\)を任意に選んだとき、\(f\left( x\right) >U\)を満たすような\(x\in (0,1]\)が必ず存在します。

実数空間\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(L\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:L\leq x
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(L\)を\(A\)の下界と呼びます。また、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域、すなわち\(f\left(x\right) \)がとり得る値からなる集合\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか検討できます。関数\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)が下に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(f\)は下に有界である(bounded from below)であると言います。また、値域\(f\left( X\right) \)の下界を関数\(f\)の下界(lower bound)と呼びます。

例(上に有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ち、したがって\(f\)は下に有界です。\(0\)は\(f\)の下界の1つですが、\(0\)以下の任意の実数もまた\(f\)の下界です。
例(上に有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack -1,0)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack -1,0)\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( [-1,0)\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \lbrack -1,0)\right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \lbrack -1,0)\right\} \\
&=&(-\infty ,-1] \end{eqnarray*}であるため、\(f\)は下に有界ではありません。実際、実数\(L\)を任意に選んだとき、\(f\left( x\right) <U\)を満たすような\(x\in \lbrack -1,0)\)が必ず存在します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が上に有界かつ下に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(f\)は有界である(bounded)と言います。逆に、関数\(f\)が有界ではないこととは、上に有界でないか、下に有界でないか、その少なくとも一方が成り立つことを意味します。

例(有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x^{2}+1}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&(0,1] \end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :0\leq \frac{1}{x^{2}+1}\leq 1
\end{equation*}が成り立ち、したがって\(f\)は有界です。
例(有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (0,1]\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( (0,1]\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は上に有界ではなく、したがって有界でもありません。一方、\(0<a<1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を\(\left[ a,1\right] \)に縮小すると、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ a,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,\frac{1}{a}\right] \end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,1\right] :1\leq \frac{1}{x^{2}+1}\leq \frac{1}{a}
\end{equation*}が成り立ち、したがって\(f\)は有界になります。

 

収束する関数は有界であるとは限らない

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することとは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、イプシロン・デルタ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。したがって、関数\(f\)が有限な実数へ収束することとは、上の条件を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

有限な実数へ収束する関数は有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(収束するが有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は有界ではありません。

 

局所有界な関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界でない場合においても、その定義域を何らかの集合\(Y\subset X\)に制限することにより\(f\)が有界になることがあります。この場合、\(f\)は\(Y\)上で有界(bounded on \(Y\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている状況において点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)はこの点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。その上で、点\(a\)を中心とする何らかの開近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}が存在して、この近傍と\(f\)の定義域\(X\)の共通部分\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X
\end{equation*}上において\(f\)が有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) =\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right\}
\end{equation*}が有界になるような正の実数\(\varepsilon >0\)が存在する場合には、\(f\)は\(a\)の周辺において局所有界(locally bounded around \(a\))であると言います。

例(局所有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。この関数の値域は、\begin{equation*}
f\left( \mathbb{R} \right) =\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}であるため、\(f\)は有界ではありません。一方、点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}となりますが、このとき、\begin{equation*}
f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) \subset \left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点の周辺において局所有界であることが明らかになりました。
例(局所有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) \subset \left[ L,U\right] \end{equation*}が明らかに成り立つため、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界です。以上より、有界な関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点の周辺において局所有界であることが明らかになりました。
例(局所有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数の値域は、\begin{equation*}
f\left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) =\left( -\infty ,0\right) \cup \left(
0,+\infty \right)
\end{equation*}であるため、\(f\)は有界ではありません。点\(0\in \mathbb{R} \)を選んだとき、任意の正の実数\(\varepsilon >0\)について、\begin{eqnarray*}f\left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\varepsilon ,0\right) \cup \left( 0,\varepsilon \right)
\right\} \\
&=&\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。
例(局所有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が正の無限大へ発散する場合には、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\varepsilon \Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つため、任意の\(\varepsilon >0\)について\(f\left(N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) \)は有界ではなく、したがって\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではありません。同様に、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が負の無限大へ発散する場合にも、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではありません。

 

収束する関数と局所有界

先に確認したように、有限な実数へ収束する関数は有界であるとは限りません。その一方で、有限な実数へ収束する関数が局所有界であることは保証されます。

命題(収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界である。
証明

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例(収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より\(f\)は点\(1\)の周辺において局所有界であるはずです。実際、例えば、\begin{eqnarray*}f\left( N_{\frac{1}{2}}\left( 1\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\frac{1}{2}}\left( 1\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 1-\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}\right) \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \right\} \\
&=&\left( \frac{1}{4},\frac{9}{16}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、このとき、\begin{equation*}
f\left( N_{\frac{1}{2}}\left( 1\right) \cap \mathbb{R} \right) \subset \left[ \frac{1}{4},\frac{9}{16}\right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)は点\(1\)の周辺において局所有界であることが明らかになりました。

 

局所有界な関数は収束するとは限らない

有限な実数へ収束する関数は局所有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、局所有界な関数は有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(局所有界な関数は収束するとは限らない)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。その一方で、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \mathbb{R} \right) \subset \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)の周辺において局所有界です。

 

関数が収束しないことの証明

有限な実数へ収束する関数は局所有界であることが明らかになりました。対偶より、局所有界ではない関数はその点において収束しません。したがって、関数が局所有界でないことを証明できれば、その関数が有限な実数へ収束しないことを示したことになります。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。したがって、上の命題より、この関数\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しません。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(関数が収束しないことの証明)
正の無限大や負の無限大へ発散する関数はいずれも有限な実数へ収束しないことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、以上の事実を利用するとそれを別の形で証明できます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではないため、先の命題より、\(f\)は有限な実数へ収束しません。同様に、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではないため、先の命題より、\(f\)は有限な実数へ収束しません。
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