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収束する関数と有界性

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有界な関数

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)について、ある実数\(U\)が\(A\)の任意の要素以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq U
\end{equation*}が成り立つならば、\(U\)を\(A\)の上界と呼びます。また、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域、すなわち\(f\left(x\right) \)がとり得る値からなる集合\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか否かを検討できます。値域\(f\left( X\right) \)が上に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つとき、この関数\(f\)は上に有界である(bounded from above)であると言います。また、値域\(f\left( X\right) \)の上界を\(f\)の上界(upper bound)と呼びます。

例(上に有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :-x^{2}\leq 0
\end{equation*}が成り立つため、この関数\(f\)は上に有界であり、\(0\)は\(f\)の上界の1つです。ちなみに、\(0\)以上の任意の実数はこの関数\(f\)の上界です。

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)について、ある実数\(L\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:L\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(L\)を\(A\)の下界と呼びます。また、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域、すなわち\(f\left(x\right) \)がとり得る値からなる集合\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか否かを検討できます。値域\(f\left( X\right) \)が下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つとき、この関数\(f\)は下に有界である(bounded from below)であると言います。また、値域\(f\left( X\right) \)の下界を\(f\)の下界(lower bound)と呼びます。

例(下に有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :0\leq x^{2}
\end{equation*}が成り立つため、この関数\(f\)は下に有界であり、\(0\)は\(f\)の下界の1つです。ちなみに、\(0\)以下の任意の実数はこの関数\(f\)の下界です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が上に有界かつ下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つとき、この関数\(f\)は有界である(bounded)と言います。

例(有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :0\leq \frac{1}{x^{2}+1}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この関数\(f\)は有界です。
例(有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (0,1]\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( [0,1)\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は上に有界ではなく、したがって有界でもありません。そこで、\(0<a<1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を\(\left[ a,1\right] \)に縮小するとどうなるでしょうか。この場合、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( [0,1)\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,\frac{1}{a}\right] \end{eqnarray*}であるため、定義域を\(\left[ a,1\right] \)へ縮小した\(f\)は有界です。

 

収束する関数と有界性

有限な実数へ収束する数列は有界ですが、関数について同様の主張は成り立つとは限りません。つまり、有限な実数へ収束する関数は有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(収束するが有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は有界ではありません。

 

局所有界な関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界でない場合においても、その定義域を何らかの集合\(Y\subset X\)に制限することにより\(f\)が有界になることがあります。この場合、\(f\)は\(Y\)上で有界(bounded on \(Y\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているものとします。つまり、点\(a\)の周辺にある任意の点が関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるということです。点\(a\)自身は\(X\)の要素でもそうでなくてもどちらでもかまいません。その上で、\(f\)が\(a\)を中心とする何らかの開近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}が存在して、\(f\)が\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \cap X\)上で有界であるならば、すなわち、\begin{equation*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) =\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right\}
\end{equation*}が有界になるような正の実数\(\varepsilon >0\)が存在する場合には、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界(locally bounded around \(a\))であると言います。

例(局所有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。この関数の値域は、\begin{equation*}
f\left( \mathbb{R} \right) =\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}であるため、\(f\)は有界ではありません。一方、点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}となりますが、このとき、\begin{equation*}
f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) \subset \left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点の周辺において局所有界であることが明らかになりました。
例(局所有界な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) \subset \left[ L,U\right] \end{equation*}が明らかに成り立つため、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界です。以上より、有界な関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点の周辺において局所有界であることが明らかになりました。
例(局所有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数の値域は、\begin{equation*}
f\left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) =\left( -\infty ,0\right) \cup \left(
0,+\infty \right)
\end{equation*}であるため、\(f\)は有界ではありません。また、点\(0\in \mathbb{R} \)を選んだとき、任意の正の実数\(\varepsilon >0\)について、\begin{eqnarray*}f\left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\varepsilon ,0\right) \cup \left( 0,\varepsilon \right)
\right\} \\
&=&\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。
例(局所有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が正の無限大へ発散する場合には、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\varepsilon \Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つため、任意の\(\varepsilon >0\)について\(f\left(N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) \)は有界ではなく、したがって\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではありません。同様に、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が負の無限大へ発散する場合にも、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではありません。

 

収束する関数と局所有界

先に確認したように、有限な実数へ収束する関数は有界であるとは限りません。その一方で、有限な実数へ収束する関数が局所有界であることは保証されます。

命題(収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界である。
証明

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例(収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より\(f\)は点\(1\)の周辺において局所有界であるはずです。実際、例えば、\begin{eqnarray*}f\left( N_{\frac{1}{2}}\left( 1\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\frac{1}{2}}\left( 1\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 1-\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}\right) \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \right\} \\
&=&\left( \frac{1}{4},\frac{9}{16}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、このとき、\begin{equation*}
f\left( N_{\frac{1}{2}}\left( 1\right) \cap \mathbb{R} \right) \subset \left[ \frac{1}{4},\frac{9}{16}\right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)は点\(1\)の周辺において局所有界であることが明らかになりました。

 

局所有界な関数は収束するとは限らない

有限な実数へ収束する関数は局所有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、局所有界な関数は有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(局所有界な関数は収束するとは限らない)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。その一方で、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \mathbb{R} \right) \subset \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)の周辺において局所有界です。

 

関数が収束しないことの証明

有限な実数へ収束する関数は局所有界であることが明らかになりました。対偶より、局所有界ではない関数はその点において収束しません。したがって、関数が局所有界でないことを証明できれば、その関数が有限な実数へ収束しないことを示したことになります。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。したがって、上の命題より、この関数\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しません。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(関数が収束しないことの証明)
正の無限大や負の無限大へ発散する関数はいずれも有限な実数へ収束しないことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、以上の事実を利用するとそれを別の形で証明できます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではないため、先の命題より、\(f\)は有限な実数へ収束しません。同様に、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではないため、先の命題より、\(f\)は有限な実数へ収束しません。

次回は定数関数の極限について解説します。

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