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関数

有界関数と収束関数の関係

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収束する関数は有界であるとは限らない

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、イプシロン・デルタ論法を用いて、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と定義されます。したがって、関数\(f\)が有限な実数へ収束することとは、上の条件を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で有界であることは、その値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

有限な実数へ収束する関数は有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(収束するが有界ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は有界ではありません。

有限な実数へ収束する「数列」は有界であることが保証されます。一方、上の例から明らかであるように、有限な実数へ収束する「関数」は定義域上において有界であるとは限りません。ただし、後ほど明らかになるように、有限な実数へ収束する関数は局所有界であることは保証されます。

ちなみに、有界な関数は有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有界だが収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
-1 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数の値域は、\begin{equation*}
f\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ -1,1\right\}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :-1\leq f\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この関数\(f\)は有界です。その一方で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合にこの関数は有限な実数へ収束しません(演習問題)。

 

収束する関数は局所有界

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において局所有界であることは、変数\(x\)がとり得る値を点\(a\)の周辺に制限した場合の\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) =\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right\}
\end{equation*}が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X:L\leq f\left(
x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は半径が\(\varepsilon \)であり中心が\(a\)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}と定義されます。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界であることが保証されます。

命題(収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界である。
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例(収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。先に示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、この関数\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、この関数\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上において有界ではありません。ただ、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するのであれば、先の命題より、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界であるはずです。実際、十分小さい\(\varepsilon >0\)について、\begin{eqnarray*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} :a-\varepsilon \leq f\left( x\right) \leq a+\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界であることが明らかになりましたが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

局所有界な関数は収束するとは限らない

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)の周辺において局所有界であったとしても、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(局所有界だが収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)の周辺において局所有界です。実際、任意の\(\varepsilon >0\)について、\begin{equation*}f\left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \mathbb{R} \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall x\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \mathbb{R} :0\leq f\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つからです。その一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ち、したがって\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しません。

 

関数が収束しないことの証明

有限な実数へ収束する関数は局所有界であることが明らかになりました。対偶より、局所有界ではない関数はその点において収束しません。したがって、関数が局所有界でないことを証明できれば、その関数が有限な実数へ収束しないことを示したことになります。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。したがって、先の命題より、この関数\(f\)は\(x\rightarrow 0\)の場合に有限な実数へ収束しません。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

例(関数が収束しないことの証明)
正の無限大や負の無限大へ発散する関数はいずれも有限な実数へ収束しないことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、以上の事実を利用するとそれを別の形で証明できます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではないため、先の命題より、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しません。同様に、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界ではないため、先の命題より、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しません。

 

片側収束する関数は局所有界

右側極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、イプシロン・デルタ論法を用いて、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}と定義されます。したがって、関数\(f\)が有限な実数へ右側収束することとは、上の条件を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)以上の周辺において局所有界であることは、変数\(x\)がとり得る値を点\(a\)以上の周辺に制限した場合の\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,a+\varepsilon \right) \cap X\right) =\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,a+\varepsilon \right) \cap X\right\}
\end{equation*}が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,a+\varepsilon \right) \cap X:L\leq f\left( x\right)
\leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)以上の周辺において局所有界であることが保証されます。

命題(右側収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(f\)は点\(a\)以上の周辺において局所有界である。
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左側極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ左側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、イプシロン・デルタ論法を用いて、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}と定義されます。したがって、関数\(f\)が有限な実数へ左側収束することとは、上の条件を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
-\delta <x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)以下の周辺において局所有界であることは、変数\(x\)がとり得る値を点\(a\)以下の周辺に制限した場合の\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( a-\varepsilon ,a\right] \cap X\right) =\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a\right] \cap X\right\}
\end{equation*}が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left( a-\varepsilon ,a\right] \cap X:L\leq f\left( x\right)
\leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)以下の周辺において局所有界であることが保証されます。

命題(左側収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(f\)は点\(a\)以下の周辺において局所有界である。
証明

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局所有界な関数は片側収束するとは限らない

関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)以上の周辺において局所有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)以上の周辺において局所有界であったとしても、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)は有限な実数へ右側収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(局所有界だが右側収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)以上の周辺において局所有界である一方で、\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(f\)は有限な実数へ右側収束しません(演習問題)。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)以下の周辺において局所有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)以下の周辺において局所有界であったとしても、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)は有限な実数へ左側収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(局所有界だが左側収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)以下の周辺において局所有界である一方で、\(x\rightarrow 0-\)の場合に\(f\)は有限な実数へ左側収束しません(演習問題)。

 

関数が片側収束しないことの証明

関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)以上の周辺において局所有界であることが明らかになりました。対偶より、点\(a\)以上の周辺において局所有界ではない関数は\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ収束しません。したがって、関数が点\(a\)以上の周辺において局所有界でないことを証明できれば、その関数が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束しないことを示したことになります。

例(関数が右側収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)以上の周辺において局所有界ではありません。したがって、先の命題より、この関数\(f\)は\(x\rightarrow 0+\)の場合に有限な実数へ収束しません。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)以下の周辺において局所有界であることが明らかになりました。対偶より、点\(a\)以下の周辺において局所有界ではない関数は\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ収束しません。したがって、関数が点\(a\)以下の周辺において局所有界でないことを証明できれば、その関数が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束しないことを示したことになります。

例(関数が左側収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)以下の周辺において局所有界ではありません。したがって、先の命題より、この関数\(f\)は\(x\rightarrow 0-\)の場合に有限な実数へ収束しません。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}\left( \frac{1}{x}\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

 

無限大において収束する関数は局所有界

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するか検討できます。

関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束する場合、\(f\)が\(\left( a,+\infty \right) \)上で有界になるような実数\(a\in \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。

命題(正の無限大において収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく大きい任意の点において定義されているものとする。\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f\)が\(\left( a,+\infty\right) \)上で有界になるような\(a\in \mathbb{R} \)が存在する。
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負の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、関数\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束するか検討できます。

関数\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束する場合、\(f\)が\(\left( -\infty ,a\right) \)上で有界になるような実数\(a\in \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。

命題(負の無限大において収束する関数は局所有界)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく小さい任意の点において定義されているものとする。\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f\)が\(\left( -\infty,a\right) \)上で有界になるような\(a\in \mathbb{R} \)が存在する。
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局所有界な関数は無限大において収束するとは限らない

関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束する場合、関数\(f\)は何らかの実数\(a\)に関する区間\(\left( a,+\infty \right) \)上で有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が何らかの区間\(\left( a,+\infty \right) \)上で有界であったとしても、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとは限りません。

例(局所有界だが正の無限大において収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は\(\mathbb{R} \)上で有界です。実際、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :-1\leq \sin \left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つからです。その一方で、正弦関数は振動するため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f\)は有限な実数として定まりません。

関数\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束する場合、関数\(f\)は何らかの実数\(a\)に関する区間\(\left( -\infty ,a\right) \)上で有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が何らかの区間\(\left( -\infty ,a\right) \)上で有界であったとしても、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとは限りません。

例(局所有界だが負の無限大において収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は\(\mathbb{R} \)上で有界です。実際、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :-1\leq \sin \left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つからです。その一方で、正弦関数は振動するため、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f\)は有限な実数として定まりません。

 

演習問題

問題(有界だが収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
-1 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は有界である一方で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合にこの関数\(f\)は有限な実数へ収束しないことを示してください。
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問題(局所有界だが右側収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)以上の周辺において局所有界である一方で、\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(f\)は有限な実数へ右側収束しないことを示してください。
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問題(局所有界だが左側収束しない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)以下の周辺において局所有界である一方で、\(x\rightarrow 0-\)の場合に\(f\)は有限な実数へ左側収束しないことを示してください。
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