関数の差の連続性（差の法則）

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において連続である。

関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f-g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(f-g\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(f-g\)もまた連続関数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x-1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍（\(2\)倍）と定数関数\(1\)の差として定義されています。恒等関数は連続であるため、定数倍の法則より\(2x\)は連続です。また、定数関数\(1\)は連続です。したがって先の命題より\(2x-1\)すなわち\(f\)は連続関数です。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において左側連続である。

関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f-g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに右側連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(f-g\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(f-g\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f,g\)がともに左側連続であるならば\(f-g\)もまた左側連続関数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x-1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x-1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-x-1\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、定数倍の法則より\(-x\)は連続であり、差の法則より\(-x-1\)すなわち\(f\)は連続です。\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x-1\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、差の法則より\(x-1\)すなわち\(f\)は連続です。点\(0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
-x-1\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -x\right) -\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because \text{差の法則} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}x-\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-0-1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&-1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において右側連続であり、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
x-1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}x-\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad \because \text{差の法則} \\
&=&0-1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&-1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において左側連続です。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}であるため\(f\)は点\(0\)において連続です。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f-g\)が連続関数である場合、\(f\)と\(g\)の少なくとも一方が連続であると言えるでしょうか。議論してください。

有限\(n\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f_{1}-\cdots -f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f_{1}-\cdots -f_{n}\right) \left( x\right) =f_{1}\left( x\right)
-\cdots -f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、関数\(f_{1}-\cdots -f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では定数倍の法則と和の法則を用いて以上の命題を証明しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。