関数の無限極限:発散する関数

実数の区間上に定義された実数値関数が点において発散することや、無限大や無限小において発散することの意味を解説します。

点において発散する関数

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の変数\(x\)がある実数\(\alpha \)とは異なる定義域\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなる場合には、\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=+\infty
\end{equation*}で表します。イプシロン・デルタ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}となります。つまり、どのような正の実数\(M\)を選んだ場合でも、それに対してそれぞれ正の実数\(\delta \)が存在して、\(\alpha \)との距離が\(\delta \)よりも小さい\(\alpha \)以外の任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)が\(M\)よりも大きくなるということです。

例(点において正の無限大に発散する関数)
\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}:\left( 0<\left\vert x-0\right\vert <\delta \ \Rightarrow \ \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。\(x\not=0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}}>M &\Rightarrow &\frac{1}{M}>x^{2} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{\sqrt{M}}>\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を得るため、\(M\)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}\)を選びます。実際、\(0<\left\vert x-0\right\vert <\frac{1}{\sqrt{M}}\)すなわち\(0<\left\vert x\right\vert <\frac{1}{\sqrt{M}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}} &=&\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{2}} \\
&>&1/\left( \frac{1}{\sqrt{M}}\right) ^{2}\quad \because \left\vert x\right\vert <\frac{1}{\sqrt{M}} \\
&=&1/\frac{1}{M} \\
&=&M
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の変数\(x\)がある実数\(\alpha \)とは異なる定義域\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなる場合には、\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=-\infty
\end{equation*}で表します。イプシロン・デルタ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}となります。つまり、どのような負の実数\(L\)を選んだ場合でも、それに対してそれぞれ正の実数\(\delta \)が存在して、\(\alpha \)との距離が\(\delta \)よりも小さい\(\alpha \)以外の任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)が\(L\)よりも小さくなるということです。

例(点において負の無限大に発散する関数)
\(f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{4}}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}-\frac{1}{x^{4}}=-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}:\left( 0<\left\vert x-0\right\vert <\delta \ \Rightarrow \ -\frac{1}{x^{4}}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x\not=0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{4}}<L &\Rightarrow &\frac{1}{-L}>x^{4} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{\sqrt[4]{-L}}>\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を得るため、\(L\)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\frac{1}{\sqrt[4]{-L}}\)を選びます。実際、\(0<\left\vert x-0\right\vert <\frac{1}{\sqrt[4]{-L}}\)すなわち\(0<\left\vert x\right\vert <\frac{1}{\sqrt[4]{-L}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert <\frac{1}{\sqrt[4]{-L}} &\Rightarrow &\left\vert x\right\vert ^{4}<\frac{1}{-L} \\
&\Rightarrow &x^{4}<-\frac{1}{L}\quad \because \left\vert x\right\vert ^{4}=x^{4} \\
&\Rightarrow &L>-\frac{1}{x^{4}}
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。

 

無限大において発散する関数

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の変数\(x\)を限りなく大きくしたときに\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなるならば、\(x\)が限りなく大きくなるとき\(f\)は正の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表します。イプシロン・デルタ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\ \Rightarrow \ f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}となります。つまり、どのような正の実数\(M\)を選んだ場合でも、それに対してそれぞれ正の実数\(N\)が存在して、\(N\)以上の任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)が\(M\)よりも大きくなるということです。

例(正の無限大において正の無限大に発散する関数)
\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in \mathbb{R}:\left( x>N\ \Rightarrow \ x^{2}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{equation*}
x^{2}>M\Rightarrow x>\sqrt{M}
\end{equation*}を得るため、\(M\)に対する\(N\)の候補として\(N=\sqrt{M}\)を選びます。実際、\(x>\sqrt{M}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{equation*}
x>\sqrt{M}\Rightarrow x^{2}>M
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の変数\(x\)を限りなく小さくしたときに\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなるならば、\(x\)が限りなく小さくなるとき\(f\)は正の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表します。イプシロン・デルタ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\ \Rightarrow \ f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}となります。つまり、どのような正の実数\(M\)を選んだ場合でも、それに対してそれぞれ負の実数\(N\)が存在して、\(N\)よりも小さい任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)が\(M\)よりも大きくなるということです。

例(負の無限大におい正の無限大に発散する関数)
\(f\left( x\right) =x^{4}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{4}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in \mathbb{R}:\left( x<N\ \Rightarrow \ x^{4}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。\(x<0\)については、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
x^{4}>M &\Rightarrow &\left\vert x\right\vert ^{4}>M \\
&\Rightarrow &\left\vert x\right\vert >\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &-\left\vert x\right\vert <-\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &x<-\sqrt[4]{M}
\end{eqnarray*}を得るため、\(M\)に対する\(N\)の候補として\(N=-\sqrt[4]{M}\)を選びます。実際、\(x<-\sqrt[4]{M}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x<-\sqrt[4]{M} &\Rightarrow &-x>\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &x^{4}>M
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の変数\(x\)を限りなく大きくしたときに\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなるならば、\(x\)が限りなく大きくなるとき\(f\)は負の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表します。イプシロン・デルタ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\ \Rightarrow \ f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}となります。つまり、どのような負の実数\(L\)を選んだ場合でも、それに対してそれぞれ正の実数\(N\)が存在して、\(N\)より大きい任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)が\(L\)よりも小さくなるということです。

例(正の無限大において負の無限小に発散する関数)
\(f\left( x\right) =-3x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }-3x^{2}=-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N>0,\ \forall x\in \mathbb{R}:\left( x>N\ \Rightarrow \ -3x^{2}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x>0\)については、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
-3x^{2}<L &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &x>\sqrt{\frac{-L}{3}}\quad \because L<0
\end{eqnarray*}を得るため、\(L\)に対する\(N\)の候補として\(N=\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を選びます。実際、\(x>\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x>\sqrt{\frac{-L}{3}} &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &-3x^{2}<L
\end{eqnarray*}となるため目標が達成されました。

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の変数\(x\)を限りなく小さくしたときに\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなるならば、\(x\)が限りなく小さくなるとき\(f\)は負の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表します。イプシロン・デルタ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\ \Rightarrow \ f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}となります。つまり、どのような負の実数\(M\)を選んだ場合でも、それに対してそれぞれ負の実数\(N\)が存在して、\(N\)より小さい任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)が\(L\)よりも小さくなるということです。

例(負の無限大において負の無限大に発散する関数)
\(f\left( x\right) =-3x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }-3x^{2}=-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N<0,\ \forall x\in \mathbb{R}:\left( x<N\ \Rightarrow \ -3x^{2}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x<0\)については、\begin{eqnarray*}
-3x^{2}<L &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &x<\sqrt{\frac{-L}{3}}\quad \because x<0,\ L<0
\end{eqnarray*}となります。そこで\(N=\sqrt{\frac{-L}{3}}\)とおくと、\(x<\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x<\sqrt{\frac{-L}{3}} &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &-3x^{2}<L
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。

次回からは関数の片側極限について解説します。
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