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関数による逆像と定義域

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関数による要素の逆像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たすような\(x\in X\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は始集合\(X\)のそれぞれの要素に対して実数を1つずつ定めます。したがって、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \)の「要素」です。一方、終集合のそれぞれの要素\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

例(関数による要素の逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:関数のグラフ
図:関数のグラフ

\(f\)による要素\(1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(0\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(-1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1=x^{2}\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}です。

例(関数による要素の逆像)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:関数のグラフ
図:関数のグラフ

\(f\)による要素\(1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=\frac{1}{x+1}\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(-1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1=\frac{1}{x+1}\right\} \\
&=&\left\{ -2\right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)による要素\(0\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0=\frac{1}{x+1}\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。さらに、\(f\)のグラフは、\begin{equation}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) =y\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in G\left(
f\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(\left( x,y\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

 

関数による集合の逆像・写像の定義域

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその値\(f\left( x\right)\in \mathbb{R} \)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( x\right) \)が\(B\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(B\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。\(f^{-1}\left(B\right) \)は\(f\)の始集合\(X\)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の終集合\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(\mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の定義域(domain)と呼び、\(D\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{写像による逆像の定義}
\end{eqnarray*}です。つまり、関数\(f\)の定義域とは、\(f\left( x\right) \)がとり得るすべての値からなる集合です。

例(関数による集合の逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:関数のグラフ
図:関数のグラフ

\(f\)による集合\(\left\{ 1,4\right\} \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 1,4\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left\{ 1,4\right\} \right\} \\
&=&\left\{ -2,-1,1,2\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left( 1,4\right) \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left( 1,4\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left( 1,4\right) \right\} \\
&=&\left( -2,-1\right) \cup \left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。これは定義域\(D\left( f\right) \)と始集合\(\mathbb{R} \)が一致する関数の例です。

例(関数による集合の逆像)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:関数のグラフ
図:関数のグラフ

\(f\)による集合\(\left\{ 0,1\right\} \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0,1\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x+1}\in \left\{ 0,1\right\} \right\} \\
&=&\left\{ -1,0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x+1}\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&(0,+\infty )
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left( -2,-1\right) \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left( -2,-1\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x+1}\in \left( -2,-1\right) \right\} \\
&=&\left( -2,-\frac{3}{2}\right)
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x+1}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\}
\end{eqnarray*}です。これもまた定義域\(D\left( f\right) \)と始集合\(\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)が一致する関数の例です。

例(関数による集合の逆像)
空集合は任意の部分集合であるため、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による空集合\(\phi \subset \mathbb{R} \)の逆像を考えることもできます。関数による集合の逆像の定義より、これは、\begin{equation*}f^{-1}(\phi )=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \phi \}
\end{equation*}となりますが、\(f\left( x\right)\in \phi \)は恒偽式であるため、\begin{equation*}f^{-1}\left( \phi \right) =\phi
\end{equation*}となります。つまり、関数による空集合の逆像は空集合です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) \in B\quad
\because \text{関数による逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:y=f\left( x\right) \quad \because \text{関数の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because \text{関数のグラフの定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} \)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left(f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

先に例示した関数は定義域と始集合が一致していましたが、このような関係は任意の関数に関して成立します。つまり、関数の定義域と始集合は常に一致するということです。

命題(関数の定義域と始集合は一致する)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}D\left( f\right) =X
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3-\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(D\left( f\right) \)を求めてください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}-x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(D\left( f\right) \)を求めてください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{12}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(D\left( f\right) \)を求めてください。
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問題(関数による逆像)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(X=\mathbb{R} \)の場合の\(f\)の定義域と、\(X=\mathbb{Z} \)の場合の\(f\)の定義域をそれぞれ求めてください。
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問題(関数による逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f^{-1}\left( \left[ 1,4\right] \right) \\
&&\left( b\right) \ f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right) \\
&&\left( c\right) \ f^{-1}\left( \left( 0,1\right) \right) \\
&&\left( d\right) \ f^{-1}\left( \left( -1,0\right) \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(関数による逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+1
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f^{-1}\left( \left\{ 10,17\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ f^{-1}\left( \left( 5,10\right) \right) \\
&&\left( c\right) \ f^{-1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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