関数による逆像と関数の定義域

関数による要素の逆像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たすような\(x\in X\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は始集合\(X\)のそれぞれの要素に対して実数を1つずつ定めます。したがって、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \)の「要素」です。一方、終集合のそれぞれの要素\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

例（関数による要素の逆像）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)による要素\(1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{要素の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(0\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{要素の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0=x^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(-1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{要素の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1=x^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}です。

例（関数による要素の逆像）

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)による要素\(1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{要素の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=\frac{1}{x+1}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(-1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{要素の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1=\frac{1}{x+1}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\{ -2\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(0\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{要素の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0=\frac{1}{x+1}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\phi
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) =y\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in G\left(
f\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(\left( x,y\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

関数による集合の逆像・写像の定義域

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(x\in X\)に対して値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、これは先に選んだ集合\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( x\right) \)が\(B\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(B\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。\(f^{-1}\left(B\right) \)は\(f\)の始集合\(X\)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の終集合\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(\mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の定義域（domain）と呼び、\begin{equation*}D\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{写像による逆像の定義}
\end{eqnarray*}です。

例（関数による集合の逆像）

写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)による集合\(\left\{ 1,4\right\} \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 1,4\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left\{ 1,4\right\} \right\} \quad \because \text{集合の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left\{ 1,4\right\} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ -2,-1,1,2\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left[ 0,1\right] \right\} \quad \because \text{集合の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left[ 0,1\right] \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left( 1,4\right) \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left( 1,4\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left( 1,4\right) \right\} \quad \because \text{集合の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left( 1,4\right) \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( -2,-1\right) \cup \left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{集合の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。これは定義域\(D\left( f\right) \)と始集合\(\mathbb{R} \)が一致する関数の例です。

例（関数による集合の逆像）

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

\(f\)による集合\(\left\{ 0,1\right\} \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0,1\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left\{ 0,1\right\} \right\} \quad \because \text{集合の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x+1}\in \left\{ 0,1\right\} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ -1,0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left[ 0,1\right] \right\} \quad \because \text{集合の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x+1}\in \left[ 0,1\right] \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&(0,+\infty )
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left( -2,-1\right) \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left( -2,-1\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left( -2,-1\right) \right\} \quad \because \text{集合の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x+1}\in \left( -2,-1\right) \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( -2,-\frac{3}{2}\right)
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{集合の逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x+1}\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\}
\end{eqnarray*}です。これもまた定義域\(D\left( f\right) \)と始集合\(\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)が一致する関数の例です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、要素\(x\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) \in B\quad
\because \text{集合の逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:y=f\left( x\right) \quad \because \text{関数の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because \text{関数のグラフの定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} \)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left(f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

関数の定義域と始集合は一致する

これまで例示した関数はいずれも定義域と始集合が一致していましたが、このような関係は任意の関数に関して成立します。つまり、関数の定義域と始集合は常に一致するということです。

この命題を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しては、その始集合\(X\)と定義域\(D\left( f\right) \)を同一視しても一般性は失われません。関数と始集合と言ったとき、それは同時に定義域を指すとともに、その逆も成立するということです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |x\in X\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} \)と一致するとは限りません。つまり、以下の関係\begin{equation*}R\left( f\right) =\mathbb{R} \end{equation*}は成立するとは限りません。一方、先の命題より、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域については以下の関係\begin{equation*}D\left( f\right) =X
\end{equation*}が必ず成立します。両者の違いに注意してください。

関数による要素の逆像と集合の逆像の関係

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}をとります。先に選んだ集合の要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、その逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ x\in X\ |\ b=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}が得られますが、両者の間には以下の関係\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) \subset f^{-1}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(b\)が\(B\)の要素であるならば、\(f\)による\(b\)の逆像は\(B\)の逆像の部分集合になるということです。

逆の主張も成り立つため以下の命題を得ます。

関数による集合の逆像と包含関係

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B_{1},B_{2}\subset \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。両者の間に\(B_{1}\subset B_{2}\)が成り立つ場合には、それらの逆像の間にも、\begin{equation*}f^{-1}\left( B_{1}\right) \subset f^{-1}\left( B_{2}\right)
\end{equation*}という包含関係が成り立ちます。

逆の主張も成り立つため以下の命題を得ます。

関数による補集合の逆像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その補集合\(B^{c}=\mathbb{R} \backslash B\)をとります。このとき、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B^{c}\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in
B^{c}\right\} \\
\left( f^{-1}\left( B\right) \right) ^{c} &=&X\backslash f^{-1}\left(
B\right)
\end{eqnarray*}が一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B^{c}\right) =\left( f^{-1}\left( B\right) \right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つということです。

関数による共通部分の逆像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\forall B_{1},B_{2}\subset \mathbb{R} :f^{-1}\left( B_{1}\cap B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right) \cap
f^{-1}\left( B_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、共通部分の逆像は逆像の共通部分と一致するということです。

先の命題は、関数の終集合の2つの部分集合に関するものでしたが、終集合の任意個の部分集合に関しても同様の主張が成り立ちます。

関数による和集合の逆像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\forall B_{1},B_{2}\subset \mathbb{R} :f^{-1}\left( B_{1}\cup B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right) \cup
f^{-1}\left( B_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、和集合の逆像は逆像の和集合と一致するということです。

先の命題は、関数の終集合の2つの部分集合に関するものでしたが、終集合の任意個の部分集合に関しても同様の主張が成り立ちます。

写像による差集合の逆像

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\forall B_{1},B_{2}\subset \mathbb{R} :f^{-1}\left( B_{1}\backslash B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right)
\backslash f^{-1}\left( B_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、差集合の逆像は逆像の差集合と一致します。

演習問題