確認テスト II（1変数関数）

関数の極限を求める以下のプロセスを観察してください。\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-1}{x-1} &=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\left( x-1\right) \left( x^{2}+x+1\right) }{x-1}\quad \because \text{因数分解} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}+x+1\right) \quad \because \text{約分} \\
&=&1^{2}+1+1 \\
&=&3
\end{eqnarray*}なぜ約分できるのでしょうか。\(x\rightarrow 1\)の場合の極限について考えているため、\(x\)は\(1\)に限りなく近づくものの\(1\)とは一致しません。したがって\(x-1\not=0\)であり、分子と分母を\(x-1\)で割ることができます。以上の根拠をより厳密な形で証明します。2つの関数\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において等しい値をとるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall x\in \left( a-\varepsilon ,a\right) \cup
\left( a,a+\varepsilon \right) :f\left( x\right) =g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、\begin{equation*}
\exists c\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。その上で、この命題が先の例における約分の根拠になっている理由を説明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{x-1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(a\not= 1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上において連続であることを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-x^{2} & \left( if\ x\leq c\right) \\
x & \left( if\ x>c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上において連続になるような\(c\)の値をすべて求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}が有限な実数として定まらないことを証明してください。

半径\(r\)がとり得る値の範囲が\(\left[ 5,8\right] \)であるような球の中には、体積が\(1500\)であるようなものが存在することを厳密に証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上の任意の点において不連続であることを証明してください。