最大値・最小値の定理の一般化
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域\(\left[ a,b\right] \)上において連続である場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)において最大値と最小値を持つことが明らかになりました（最大値・最小値の定理）。つまり、以上の条件のもとでは、\begin{eqnarray*}\max f\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\max \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} \\
\min f\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\min \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まります。
最大値・最小値の定理の証明では、連続関数による有界閉区間の像はコンパクト集合であるという命題を利用しました。有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ですが、逆にコンパクト集合は有界閉区間であるとは限りません。連続関数によるコンパクト集合の像もまたコンパクト集合であるため、最大値・最小値の定理において有界閉区間をコンパクト集合に置き換えた主張もまた成り立つことが予想されます。以下では、この一般化された主張もまた成り立つことを示します。
命題（最大値・最小値の定理の一般化）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\(X\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。この場合、\(f\)は\(X\)において最大値と最小値を持つ。つまり、\begin{eqnarray*}\max f\left( X\right) &=&\max \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
\min f\left( X\right) &=&\min \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まる。
\min f\left( X\right) &=&\min \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まる。
例（一般化された最大値・最小値の定理）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right]\cup \left[ 2,3\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(f\)は多項式関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \cup \left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,2\right] \cup \left[ 3,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、\begin{eqnarray*}\max f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&4 \\
\min f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&0
\end{eqnarray*}が存在しますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(f\)は多項式関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \cup \left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,2\right] \cup \left[ 3,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、\begin{eqnarray*}\max f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&4 \\
\min f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&0
\end{eqnarray*}が存在しますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（一般化された最大値・最小値の定理）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,-1\right]\cup \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(f\)は多項式関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right) &=&\left\{
f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \right\} \cup \left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,4\right] \cup \left[ 1,4\right] \\
&=&\left[ 1,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、\begin{eqnarray*}\max f\left( \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right) &=&4 \\
\min f\left( \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right) &=&1
\end{eqnarray*}が存在しますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(f\)は多項式関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right) &=&\left\{
f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \right\} \cup \left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,4\right] \cup \left[ 1,4\right] \\
&=&\left[ 1,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、\begin{eqnarray*}\max f\left( \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right) &=&4 \\
\min f\left( \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right) &=&1
\end{eqnarray*}が存在しますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（一般化された最大値・最小値の定理）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で有界閉区間ではありません。\(f\)は正弦関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \sin \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \sin \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \right\} \cup \left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \cup \left[ -1,0\right] \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、\begin{eqnarray*}\max f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right) &=&1 \\
\min f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right) &=&-1
\end{eqnarray*}が存在しますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で有界閉区間ではありません。\(f\)は正弦関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \sin \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \sin \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \right\} \cup \left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \cup \left[ -1,0\right] \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、\begin{eqnarray*}\max f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right) &=&1 \\
\min f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right) &=&-1
\end{eqnarray*}が存在しますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
一般化された最大値・最小値の定理が要求する条件の吟味
一般化された最大値・最小値の定理はコンパクト集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上において連続であることを条件として要求しています。定理の主張が成り立つことを担保する上でこの条件は必須なのでしょうか。順番に考えます。ただし、ここでは\(X\)がコンパクトである一方で有界閉区間ではない状況を想定します。
一般化された最大値・最小値の定理は関数\(f\)がコンパクト集合\(X\)上で連続であることを要求します。では、\(f\)が\(X\)上で連続ではない場合には何らかの問題が生じるでしょうか。
例（一般化された最大値・最小値の定理）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right]\cup \left[ 2,3\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
x & \left( if\ x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right) \\
2 & \left( if\ x=3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x \\
&=&0 \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}x \\
&=&3 \\
&\not=&2 \\
&=&f\left( 3\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続ではなく、点\(3\)において左側連続ではないため、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)上において連続ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ 1\in \mathbb{R} \ |\ x=0\right\} \cup \left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right\} \cup \left\{ 2\in \mathbb{R} \ |\ x=3\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\} \cup (0,1]\cup \lbrack 2,3)\cup \left\{ 2\right\} \\
&=&(0,1]\cup \lbrack 2,3)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\max f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\max
(0,1]\cup \lbrack 2,3) \\
\min f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\min
(0,1]\cup \lbrack 2,3)
\end{eqnarray*}はともに有限な実数として定まりません。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
x & \left( if\ x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right) \\
2 & \left( if\ x=3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x \\
&=&0 \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}x \\
&=&3 \\
&\not=&2 \\
&=&f\left( 3\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続ではなく、点\(3\)において左側連続ではないため、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)上において連続ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ 1\in \mathbb{R} \ |\ x=0\right\} \cup \left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right\} \cup \left\{ 2\in \mathbb{R} \ |\ x=3\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\} \cup (0,1]\cup \lbrack 2,3)\cup \left\{ 2\right\} \\
&=&(0,1]\cup \lbrack 2,3)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\max f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\max
(0,1]\cup \lbrack 2,3) \\
\min f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\min
(0,1]\cup \lbrack 2,3)
\end{eqnarray*}はともに有限な実数として定まりません。
では、\(f\)が\(X\)上で連続である一方で\(X\)がコンパクト集合ではない場合には何らかの問題が生じるでしょうか。
例（一般化された最大値・最小値の定理）
関数\(f:\mathbb{R} \supset (0,1]\cup \lbrack 2,3)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\((0,1]\cup \lbrack 2,3)\)上において連続である一方で、\((0,1]\cup \lbrack 2,3)\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right\} \\
&=&(0,1]\cup \lbrack 2,3)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\max f\left( (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right) &=&\max (0,1]\cup \lbrack 2,3) \\
\min f\left( (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right) &=&\min (0,1]\cup \lbrack 2,3)
\end{eqnarray*}はともに有限な実数として定まりません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\((0,1]\cup \lbrack 2,3)\)上において連続である一方で、\((0,1]\cup \lbrack 2,3)\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right\} \\
&=&(0,1]\cup \lbrack 2,3)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\max f\left( (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right) &=&\max (0,1]\cup \lbrack 2,3) \\
\min f\left( (0,1]\cup \lbrack 2,3)\right) &=&\min (0,1]\cup \lbrack 2,3)
\end{eqnarray*}はともに有限な実数として定まりません。
演習問題
問題（一般化された最大値・最小値の定理）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 0\right\} \cup \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left\{ 0\right\}\cup \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} & \left( if\ x\in \left[ 1,2\right] \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況は、一般化された最大値・最小値の定理が要求する条件をすべて満たすでしょうか。また、\(f\)は定義域上において最大値や最小値をとるでしょうか。議論してください。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} & \left( if\ x\in \left[ 1,2\right] \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況は、一般化された最大値・最小値の定理が要求する条件をすべて満たすでしょうか。また、\(f\)は定義域上において最大値や最小値をとるでしょうか。議論してください。
問題（一般化された最大値・最小値の定理）
\(\mathbb{R} \)の部分集合を、\begin{equation*}X=\left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ 0\right\}
\end{equation*}と定義します。その上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ x\in \left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。以上の状況は、一般化された最大値・最小値の定理が要求する条件をすべて満たすでしょうか。また、\(f\)は定義域上において最大値や最小値をとるでしょうか。議論してください。
\end{equation*}と定義します。その上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ x\in \left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。以上の状況は、一般化された最大値・最小値の定理が要求する条件をすべて満たすでしょうか。また、\(f\)は定義域上において最大値や最小値をとるでしょうか。議論してください。
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