相乗平均（幾何平均）

相乗平均（幾何平均）の定義

自然数\(n\)を任意に選んだ上で、さらに\(n\)個の正の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n}>0\)を任意に選びます。正の実数どうしの積は正の実数であるため、先の\(n\)個の正の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の積\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\times \cdots \times a_{n}
\end{equation*}もまた正の実数です。また、\(\frac{1}{n}\)は有理数であるため、\(\frac{1}{n}\)を指数とする累乗\begin{equation*}\left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}が1つの正の実数として定まることが保証されます。これを\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の相乗平均（geometric mean）や幾何平均などと呼びます。有理数を指数とする累乗の定義より、相乗平均は、\begin{equation*}\left[ \left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right] ^{n}=a_{1}\times \cdots \times a_{n}
\end{equation*}を満たす正の実数として定義されます。つまり、\(n\)乗すると\(a_{1}\times \cdots \times a_{n}\)と一致するような正の実数として相乗平均\(\left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\)は定義され、これを、\begin{equation*}\sqrt[n]{a_{1}\times \cdots \times a_{n}}
\end{equation*}と表記することもできます。

相乗平均（幾何平均）の性質と活用例

繰り返しになりますが、\(n\)個の正の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の相乗平均\begin{equation*}\left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}とは、以下の関係\begin{equation*}
\left[ \left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right] ^{n}=a_{1}\times \cdots \times a_{n}
\end{equation*}を満たす正の実数として定義されます。見通しを良くために、相乗平均を、\begin{equation*}
GM=\left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}で表記すると、上の関係を、\begin{equation*}
GM^{n}=a_{1}\times \cdots \times a_{n}
\end{equation*}と表現できます。つまり、問題としている\(n\)個の正の実数\(a_{1},\cdots,a_{n}\)の積（右辺）を得るためにこれらの数を実際にかけ合わせるかわりに、相乗平均\(GM\)に相当する値を\(n\)回かけ合わせてもよいということです（左辺）。かけ合わせることに意味があるような数値\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の積を求めるために、平均的にはどのような数をかけ合わせればよいかを表す指標が相乗平均であるということです。

変化率はかけ合わせることに意味のある数値であるため、変化率の平均を求める際には相乗平均が適しています。

対数を用いた相乗平均の算出

繰り返しになりますが、\(n\)個の正の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の相乗平均は、\begin{equation}GM=\left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}ですが、これは以下の関係\begin{equation*}
GM^{n}=a_{1}\times \cdots \times a_{n}
\end{equation*}を満たす正の実数として定義されます。つまり、与えられた正の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の相乗平均\(GM\)を求めるためには積\(a_{1}\times \cdots \times a_{n}\)を計算した上で、さらに、\(n\)乗したときに先の積\(a_{1}\times \cdots \times a_{n}\)と一致するような正の実数を特定する必要があります。したがって、数の個数\(n\)が多くなるほど、また個々の数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)が大きくなるほど幾何平均を特定するのが困難になります。

対数変換を用いればこのような問題を解決できます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\ln \left( GM\right) &=&\ln \left( \left( a_{1}\times \cdots \times
a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{n}\ln \left( \left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right)
\right) \\
&=&\frac{1}{n}\left[ \ln \left( a_{1}\right) +\cdots +\ln \left(
a_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}という関係が成り立つため、以上の関係を用いて\(\ln \left( GM\right) \)の値を特定した上で、さらにそこから、以下の関係\begin{equation*}GM=e^{\ln \left( GM\right) }
\end{equation*}を用いて相乗平均\(GM\)を特定することになります。

演習問題