双曲線余弦関数（cosh関数）の定義と具体例

双曲線余弦関数

自然指数関数\(e^{x}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\cosh \left( x\right) =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\cosh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを双曲線余弦関数（hyperbolic cosine function）やハイパボリックコサイン関数などと呼びます。

双曲線余弦関数という名称の由来

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する単位円の媒介変数表示は、\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}として与えられます。実際、\(\left( 1\right) \)を変形すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}=\cos ^{2}\left( t\right) \\
y^{2}=\sin ^{2}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となりますが、これと、\begin{equation*}
\sin ^{2}\left( t\right) +\cos ^{2}\left( t\right) =1
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}となり、単位円の方程式が与えられます。つまり、余弦関数は媒介変数表示された円の\(x\)座標を与えます。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する中心が\(\left( 0,0\right) \)であり準主軸および準共軸がともに\(0\)であるような双曲線の媒介変数表示は、\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
x=\cosh \left( t\right) \\
y=\sinh \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}として与えられます。ただし、双曲線正弦関数の定義は、\begin{equation}
\sinh \left( t\right) =\frac{e^{t}-e^{-t}}{2} \quad \cdots (3)
\end{equation}であるとともに、双曲線余弦関数の定義は、\begin{equation}
\cosh \left( t\right) =\frac{e^{t}+e^{-t}}{2} \quad \cdots (4)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\cosh ^{2}\left( t\right) -\sinh ^{2}\left( t\right) &=&\left( \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\right) ^{2}-\left( \frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\right) ^{2}\quad
\because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&\frac{e^{2t}+2e^{t}e^{-t}+e^{-2t}}{4}-\frac{e^{2t}-2e^{t}e^{-t}+e^{-2t}}{4} \\
&=&\frac{4e^{t}e^{-t}}{4} \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\cosh ^{2}\left( t\right) -\sinh ^{2}\left( t\right) =1 \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。\(\left( 2\right) \)を変形すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}=\cosh ^{2}\left( t\right) \\
y^{2}=\sinh ^{2}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となりますが、これと\(\left( 5\right) \)より、\begin{equation*}x^{2}-y^{2}=1
\end{equation*}となり、双曲線の方程式が与えられます。つまり、双曲線余弦関数は媒介変数表示された双曲線の\(x\)座標を与えます。

結論を整理します。余弦関数が媒介変数表示された円の\(x\)座標を与えるように、双曲線余弦関数は媒介変数表示された双曲線の\(x\)座標を与えます。双曲線余弦関数という名称の由来は以上の通りです。

双曲線余弦関数のグラフ（双曲線余弦曲線）

双曲線余弦関数\(\cosh \left(x\right) \)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( \cosh \right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\cosh \left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これを双曲線余弦曲線（hyperbolic cosine curve）やハイパボリックコサイン・カーブなどと呼びます。双曲線余弦曲線を図示すると以下のようになります（青い曲線）。

\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\cosh \left( x\right) &=&\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\
&>&\frac{1}{2}e^{x}\quad \because e^{-x}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の曲線\begin{equation}
y=\frac{1}{2}e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}のグラフは双曲線正弦曲線よりも下方に位置します（上図中の赤い曲線）。さらに、後ほど解説する極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ \cosh \left( x\right) -\frac{1}{2}e^{x}\right] &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-\frac{1}{2}e^{x}\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{e^{-x}}{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に双曲線余弦曲線は\(\left( 1\right) \)の曲線に限りなく近づきます。

\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\cosh \left( x\right) &=&\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\
&>&\frac{1}{2}e^{-x}\quad \because e^{x}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の曲線\begin{equation}
y=\frac{1}{2}e^{-x} \quad \cdots (2)
\end{equation}のグラフは双曲線正弦曲線よりも下方に位置します（上図中の赤い曲線）。さらに、後ほど解説する極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ \cosh \left( x\right) -\frac{1}{2}e^{-x}\right] &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-\frac{1}{2}e^{-x}\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{e^{x}}{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に双曲線余弦曲線は\(\left( 2\right) \)の曲線に限りなく近づきます。

双曲線余弦関数は狭義単調関数の組合せ

双曲線余弦関数の定義域は\(\mathbb{R} \)ですが、双曲線余弦関数\(\left( -\infty ,0\right] \)上において狭義単調減少であり、\(\left[ 0,+\infty \right) \)上において狭義単調増加です。

双曲線余弦関数の値域

後に導入する関数の極限や連続性などの概念を利用することにより、双曲線余弦関数が\(1\)以上の任意の実数を値として取り得ること、すなわち双曲線余弦関数の値域が\(\left[ 1,+\infty \right) \)であることが明らかになります。

双曲線余弦関数の規則性

双曲線余弦関数に関しては以下が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合、これを偶関数（even function）と呼びます。先の命題は双曲線余弦関数が偶関数であることを主張しています。

双曲線余弦関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、双曲線余弦関数\begin{equation*}
\cosh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域は\(\cosh \left( x\right) \)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}\cosh \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

双曲線余弦関数\begin{equation*}
\sinh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\cosh \left( x\right) \)の値域\(\left[ 1,+\infty \right) \)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left[ 1,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \cosh \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

演習問題