双曲線正接関数（tanh関数）の定義と具体例

双曲線正接関数

双曲線正弦関数\(\sinh \left(x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sinh \left( x\right) =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
\end{equation*}を定めるものと定義され、双曲線余弦関数\(\cosh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\cosh \left( x\right) =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
\end{equation*}を定めるものと定義されます。特に、\(\cosh\left( x\right) \)の値域は\(\left[ 1,+\infty \right) \)であるため\(\cosh \left( x\right) \)は非ゼロ値をとります。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\tanh \left( x\right) &=&\frac{\sinh \left( x\right) }{\cosh \left(
x\right) } \\
&=&\frac{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}} \\
&=&\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
\end{eqnarray*}を値として定める関数\begin{equation*}
\tanh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを双曲線正接関数（hyperbolic tangent function）やハイパボリックタンジェント関数などと呼びます。

双曲線正接関数のグラフ

双曲線正接関数\(\cosh \left(x\right) \)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( \tanh \right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\tanh \left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\frac{\sinh \left( x\right) }{\cosh \left( x\right) }\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これを双曲線正接曲線（hyperbolic tangent curve）やハイパボリックタンジェント・カーブなどと呼びます。双曲線正接曲線を図示すると以下のようになります（青い曲線）。

\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}1-\tanh \left( x\right) &=&1-\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\
&=&\frac{e^{x}+e^{-x}-e^{x}+e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\
&=&\frac{2e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\
&>&0\quad \because e^{x},e^{-x}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の直線\begin{equation}
y=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}のグラフは双曲線正接曲線よりも上方に位置します（上図中の赤い曲線）。さらに、後ほど解説する極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ 1-\tanh \left( x\right) \right] &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\
&=&\frac{0}{\left( +\infty \right) +0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に双曲線正接曲線は\(\left( 1\right) \)の直線に限りなく近づきます。

\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\tanh \left( x\right) -\left( -1\right) &=&\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}+1 \\
&=&\frac{e^{x}-e^{-x}+e^{x}+e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\
&=&\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} \\
&>&0\quad \because e^{x},e^{-x}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の直線\begin{equation}
y=-1 \quad \cdots (2)
\end{equation}のグラフは双曲線正接曲線よりも下方に位置します（上図中の赤い曲線）。さらに、後ほど解説する極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ \tanh \left( x\right) -\left( -1\right) \right] &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) \\
&=&\frac{0}{0+\left( +\infty \right) } \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に双曲線正接曲線は\(\left( 2\right) \)の直線に限りなく近づきます。

双曲線正接関数は狭義の単調増加関数

双曲線正接関数は狭義の単調増加関数です。

双曲線正接関数の値域

後に導入する関数の極限や連続性などの概念を利用することにより、双曲線正弦関数は\(-1\)より大きく\(1\)より小さい任意の実数を値として取り得ること、すなわち双曲線正接関数の値域が\(\left( -1,1\right) \)であることが明らかになります。

双曲線正接関数の規則性

双曲線正接関数に関しては以下が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合、これを奇関数（odd function）と呼びます。先の命題は双曲線正接関数が奇関数であることを主張しています。

双曲線正接関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、双曲線正接関数\begin{equation*}
\tanh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域は\(\tanh \left( x\right) \)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}\tanh \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

双曲線正接関数\begin{equation*}
\tanh \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\tanh \left( x\right) \)の値域\(\left( -1,1\right) \)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( -1,1\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \tanh \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

演習問題