恒等関数

恒等関数や、そのべき乗を定義します。恒等関数やそのべき乗は任意の点において収束するとともに、連続です。
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恒等関数

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるならば、\(f\)を恒等関数(identity function)と呼びます。つまり、恒等関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)は\(x\)自身です。

 

恒等関数の極限

恒等関数\(f\left( x\right) =x\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において収束し、そこでの極限は\(\alpha \)となります。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}
\delta <\varepsilon \tag{1} \end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}
0<\left\vert x-\alpha \right\vert <\delta \tag{2}
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left\vert f\left( x\right) -\alpha \right\vert &=&\left\vert x-\alpha
\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&<&\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

恒等関数\(f\left( x\right) =x\)は正の無限大\(+\infty \)において\(+\infty \)へ発散し、負の無限大\(-\infty \)において\(-\infty \)へ発散します。証明は上と同様です。

命題(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が恒等関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。この\(f\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha
\end{equation*}となる。また、正の無限大や負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&+\infty
\\
\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}となる。
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例(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるならば、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 8}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 8}x=8 \\
\lim_{x\rightarrow -\pi }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\pi }x=-\pi
\\
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}}x=\frac{1}{3} \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}x=+\infty
\end{eqnarray*}などとなります。

 

恒等関数の連続性

恒等関数\(f\left( x\right) =x\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において収束し、そこでの極限は\(\alpha \)であることを先に示しました。以上を踏まえると、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha =f\left( \alpha \right)
\end{equation*}が成り立つため、恒等関数は任意の点\(\alpha \)において連続です。

命題(恒等関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が恒等関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
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次回は単項式関数について学びます。

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