コンパクト集合の連続像
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域\(\left[ a,b\right] \)上でにおいて連続である場合、\(f\)による\(\left[ a,b\right] \)の像、すなわち\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}もまた有界閉区間になることが明らかになりました。
有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ですが、逆にコンパクト集合は有界閉区間であるとは限りません。したがって、連続関数によるコンパクト集合の像がコンパクト集合になるのであれば、それは先の主張の一般化です。以下では、この一般化された主張もまた成り立つことを示します。
実数空間\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。さらに、この関数\(f\)が定義域\(X\)上において連続である場合、\(f\)による\(X\)の像、すなわち\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されます。
命題（コンパクト集合の連続像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\(X\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。この場合、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
例（コンパクト集合の連続像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right]\cup \left[ 2,3\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(f\)は多項式関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \cup \left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,2\right] \cup \left[ 3,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(f\)は多項式関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \cup \left\{ x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 2,3\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,2\right] \cup \left[ 3,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（コンパクト集合の連続像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,-1\right]\cup \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(f\)は多項式関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right) &=&\left\{
f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \right\} \cup \left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,4\right] \cup \left[ 1,4\right] \\
&=&\left[ 1,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。\(f\)は多項式関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right) &=&\left\{
f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -2,-1\right] \right\} \cup \left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,4\right] \cup \left[ 1,4\right] \\
&=&\left[ 1,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（コンパクト集合の連続像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で有界閉区間ではありません。\(f\)は正弦関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \sin \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \sin \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \right\} \cup \left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \cup \left[ -1,0\right] \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で有界閉区間ではありません。\(f\)は正弦関数であるため連続です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \sin \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \cup \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \sin \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \right\} \cup \left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \cup \left[ -1,0\right] \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
コンパクト集合の連続像定理が要求する条件の吟味
連続関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。では、これら2つの条件は必須なのでしょうか。順番に検討します。
まずは、関数が連続である一方で定義域がコンパクト集合ではないケースです。
例（定義域が有界ではない連続関数の像）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続ですが、\(\mathbb{R} \)は有界ではないため、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続ですが、\(\mathbb{R} \)は有界ではないため、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
例（定義域が閉集合ではない連続関数の像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上で連続ですが、\(\left( 0,1\right) \)は閉集合ではないため、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上で連続ですが、\(\left( 0,1\right) \)は閉集合ではないため、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
続いて、関数の定義域がコンパクト集合である一方で関数が連続ではないケースです。
例（定義域はコンパクトだが連続ではない関数による像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}
\\
&=&+\infty \\
&\not=&0 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続ではなく、したがって\(\left[ 0,1\right] \)上において連続ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \cup \left\{ 0\in \mathbb{R} \ |\ x=0\right\} \\
&=&[1,+\infty )\cup \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有界ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}
\\
&=&+\infty \\
&\not=&0 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続ではなく、したがって\(\left[ 0,1\right] \)上において連続ではありません。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \cup \left\{ 0\in \mathbb{R} \ |\ x=0\right\} \\
&=&[1,+\infty )\cup \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有界ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
コンパクト集合の連続逆像
連続関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。では、連続関数によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合になることは保証されるのでしょうか。順番に検証します。
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（連続関数によるコンパクト集合の逆像）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。集合\(\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \)は有限集合であるため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。集合\(\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \)は有限集合であるため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
その一方で、連続関数\(f\)の定義域がコンパクト集合である場合には、\(f\)によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合になることが保証されます。
命題（コンパクト集合の連続逆像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\(X\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(Y\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合である。
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合である。
例（コンパクト集合の連続逆像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では定義域\(\mathbb{R} \)がコンパクトではありませんでしたが、この例では定義域が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である\(\left[ 0,1\right] \)に入れ替わっています。集合\(\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \)は有限集合であるため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。さらに、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \
|\ f\left( x\right) \in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ 0\in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では定義域\(\mathbb{R} \)がコンパクトではありませんでしたが、この例では定義域が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である\(\left[ 0,1\right] \)に入れ替わっています。集合\(\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \)は有限集合であるため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。さらに、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \
|\ f\left( x\right) \in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ 0\in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
演習問題
問題（コンパクト集合の連続像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況は、コンパクト集合の連続像に関する命題が要求する条件を満たすでしょうか。また、\(f\)による定義域の像はコンパクト集合でしょうか。検証してください。
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況は、コンパクト集合の連続像に関する命題が要求する条件を満たすでしょうか。また、\(f\)による定義域の像はコンパクト集合でしょうか。検証してください。
問題（コンパクト集合の連続像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ \exists n\in \mathbb{N} :x=\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況は、コンパクト集合の連続像に関する命題が要求する条件を満たすでしょうか。また、\(f\)による定義域の像はコンパクト集合でしょうか。検証してください。
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ \exists n\in \mathbb{N} :x=\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以上の状況は、コンパクト集合の連続像に関する命題が要求する条件を満たすでしょうか。また、\(f\)による定義域の像はコンパクト集合でしょうか。検証してください。
問題（コンパクト集合の連続像）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(X\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるとは限りません。定義域の部分集合\(Y\subset X\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合、\(f\)による\(Y\)の像\begin{equation*}f\left( Y\right) =\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ x\in Y\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されるでしょうか。議論してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されるでしょうか。議論してください。
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