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不定形の極限(0/0型)

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不定形の極限(0/0型)

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、関数\(f,g\)はともに点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)は点\(a\)の周辺の任意の点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow a\)のときの極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。後ほど示すように、不定形の極限は有限な実数へ定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。

例(0/0型の不定形)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow 1\)の場合の極限に注目します。分子については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}-x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
1}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 1}x \\
&=&1^{2}-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}-1\right) &=&\lim_{x\rightarrow
1}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 1}1 \\
&=&1^{2}-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}^{{}}\left( \frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}\right)
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}^{{}}\left( \frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 1}^{{}}\frac{x\left( x-1\right) }{\left( x+1\right)
\left( x-1\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}^{{}}\frac{x}{x+1}\quad \because x\not=1 \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}^{{}}x}{\lim\limits_{x\rightarrow
1}^{{}}\left( x+1\right) } \\
&=&\frac{1}{1+1} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となるため、この場合の不定形の極限は有限な実数として定まります。

 

不定形の片側極限(0/0型)

片側極限についても同様に考えます。まず、不定形の右側極限は以下のように定義されます。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、関数\(f,g\)はともに点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)は点\(a\)より大きい周辺の任意の点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、点\(a\)より大きい周辺の任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow a+\)のときの右側極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の右側極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a+}g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の右側極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。後ほど示すように、不定形の右側極限は有限な実数へ定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。

例(0/0型の不定形)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow 1+\)の場合の右側極限に注目します。分子については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}\left( x^{2}-x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
1+}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 1+}x \\
&=&1^{2}-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1+}\left( x^{2}-1\right) &=&\lim_{x\rightarrow
1+}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 1+}1 \\
&=&1^{2}-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の右側極限\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow 1+}\left( \frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}\right)
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}\left( \frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 1+}\frac{x\left( x-1\right) }{\left( x+1\right) \left(
x-1\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1+}\frac{x}{x+1}\quad \because x\not=1 \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1+}x}{\lim\limits_{x\rightarrow 1+}\left(
x+1\right) } \\
&=&\frac{1}{1+1} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となるため、この場合の不定形の右側極限は有限な実数として定まります。

不定形の左側極限も同様に定義します。具体的には以下の通りです。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、関数\(f,g\)がともに点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)は点\(a\)より小さい周辺の任意の点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、点\(a\)より小さい周辺の任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow a-\)のときの左側極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の左側極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a-}g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の左側極限\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。後ほど示すように、不定形の左側極限は有限な実数へ定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。

 

不定形の無限大における極限(0/0型)

無限大における極限についても同様に考えます。まず、不定形の正の無限大における極限は以下のように定義されます。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)はそれらの点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、限りなく大きい任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow+\infty \)のときの極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の正の無限大における極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の正の無限大における極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。後ほど示すように、不定形の正の無限大における極限は有限な実数へ定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。

例(0/0型の不定形)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{\frac{2}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow 0
\end{equation*}について、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限に注目します。分子については、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x^{2}}\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{2}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{2}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2}{x}\quad \because x\not=0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、この場合の不定形の無限大における極限は有限な実数として定まります。

不定形の負の無限大における極限も同様に定義します。具体的には以下の通りです。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)はそれらの点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、限りなく小さい任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow-\infty \)のときの極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の負の無限大における極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の負の無限大における極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。後ほど示すように、不定形の負の無限大における極限は有限な実数へ定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。

 

不定形の極限は有限な実数であるとは限らない

関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)がともに\(0\)へ収束する場合でも、関数\(\frac{f\left(x\right) }{g\left( x\right) }\)は有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(不定形の極限は有限な実数であるとは限らない)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x^{2}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow 0+\)の場合の右側極限に注目します。ただし、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\geq -1\vee x\not=0\right\}
\end{equation*}です。分子については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \sqrt{x+1}-1\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\sqrt{x+1}-\lim_{x\rightarrow 0+}1 \\
&=&\sqrt{0+1}-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2} &=&0^{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x^{2}}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x^{2}} &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\left( \sqrt{x+1}-1\right) \left( \sqrt{x+1}+1\right) }{x^{2}\left(
\sqrt{x+1}+1\right) }\quad \because x\not=0 \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\left( x+1\right) -1}{x^{2}\left( \sqrt{x+1}+1\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x\left( \sqrt{x+1}+1\right) } \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

 

不定形の極限が存在するか容易に判定できるとは限らない

関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)がともに\(0\)へ収束する場合、関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left(x\right) }\)が有限な実数へ収束するか判定するのは必ずしも容易ではありません。

例(不定形の極限が存在するか容易に判定できるとは限らない)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{x^{2}-\pi ^{2}}{\sin \left( x\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow \pi \)の場合の極限に注目します。ただし、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sin \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。分子については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\left( x^{2}-\pi ^{2}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
\pi }x^{2}-\lim_{x\rightarrow \pi }\pi ^{2} \\
&=&\pi ^{2}-\pi ^{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\sin \left( x\right) &=&\sin \left( \pi \right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\left( \frac{x^{2}-\pi ^{2}}{\sin \left( x\right) }\right)
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。ただ、この極限が有限な実数として定まるか判定するのは困難です。

以上の例が示唆するように、不定形の極限が存在するかの判定は必ずしも容易ではないため、何らかの工夫が必要です。具体的な方法については場を改めて解説します。

 

\(\infty /\infty \)型の不定形への変換

関数の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が\(\frac{0}{0}\)型の不定形であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つということです。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\frac{1}{g\left( x\right) }}{\frac{1}{f\left(
x\right) }}
\end{equation*}と変形すれば、\(\left( a\right),\left( b\right) \)より、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g\left( x\right) }=+\infty
\\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{f\left( x\right) }=+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(\frac{0}{0}\)型の不定形を\(\frac{\infty }{\infty }\)型の不定形へ変形できることが明らかになりました。

不定形の片側極限や無限大における極限についても同様の変形が可能です。

 

演習問題

問題(不定形の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}\left( \frac{x^{2}-9}{x-3}\right)
\end{equation*}が\(\frac{0}{0}\)型の不定形であることを示すとともに、可能である場合には極限を具体的に求めてください。
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問題(不定形の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin \left( x\right) }
\end{equation*}が\(\frac{0}{0}\)型の不定形であることを示すとともに、可能である場合には極限を具体的に求めてください。
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問題(不定形の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+3x\right) }{2x}
\end{equation*}が\(\frac{0}{0}\)型の不定形であることを示すとともに、可能である場合には極限を具体的に求めてください。
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