無限大における関数の極限

実数の点集合上に定義された実数値関数について、変数の値が限りなく大きくなる場合や限りなく小さくなる場合の関数の極限を定義します。
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正の無限大における関数の極限

これまでは関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)について、その変数\(x\)がある実数\(\alpha \)とは異なる定義域\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づく際の関数\(f\)の極限について考えましたが、\(X=\mathbb{R}\)の場合など、\(f\)が限りなく大きい任意の実数において定義されている場合には、変数\(x\)が限りなく大きくなる場合の関数\(f\)の極限を考えることもできます。

点における関数の極限について復習する

具体的には、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(\beta \)に限りなく近づくならば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は\(\beta \)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\beta
\end{equation*}で表します。

正の無限大における関数の極限を厳密に表現するためにはイプシロン・デルタ論法を利用します。今、正の実数\(\varepsilon \)を任意に選ぶと、\(f\left( x\right) \)と\(\beta \)の距離が\(\varepsilon \)より小さくなるところまで\(f\left( x\right) \)が\(\beta \)に近づくためには、\(x\)をどの程度まで大きくすればよいのか、その程度を示す数値を提示する必要があります。そこで、その数値を\(M>0\)とするならば、\(x>M\)が成り立つところまで\(x\)を大きくすれば\(\left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \)が成り立つことになります。特に、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)が成り立つのであれば、最初に設定する\(\varepsilon \)はどんなに小さくとることもでき、その\(\varepsilon \)に応じて上のような\(M\)が得られるはずです。以上の主張を論理式を用いて表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0\ \forall x\in X:\left( x>M\ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\beta \in \mathbb{R}\)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\beta \)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(正の無限大における関数の収束)
\(f\left( x\right) =\frac{1}{x}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}:\left( x>M\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(x>0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\frac{1}{x}<\varepsilon \\
&\Rightarrow &x>\frac{1}{\varepsilon }
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(M\)の候補として\(M=\frac{1}{\varepsilon }>0\)を選びます。実際\(x>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x>\frac{1}{\varepsilon } &\Rightarrow &\varepsilon >\frac{1}{x}\quad \because x>0 \\
&\Rightarrow &\varepsilon >\left\vert \frac{1}{x}\right\vert \quad \because x>0 \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

負の無限大における関数の極限

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなる場合の極限について考えましたが、\(X=\mathbb{R}\)の場合など、\(f\)が限りなく小さい任意の実数において定義されている場合には、変数\(x\)が限りなく小さくなる場合の関数\(f\)の極限を考えることもできます。

具体的には、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(\beta \)に限りなく近づくならば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)は\(\beta \)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\beta
\end{equation*}で表します。

負の無限大における関数の極限を厳密に表現するためにはイプシロン・デルタ論法を利用します。今、正の実数\(\varepsilon \)を任意に選ぶと、\(f\left( x\right) \)と\(\beta \)の距離が\(\varepsilon \)より小さくなるところまで\(f\left( x\right) \)が\(\beta \)に近づくためには、\(x\)をどの程度まで小さくすればよいのか、その程度を示す数値を提示する必要があります。そこで、その数値を\(L<0\)とするならば、\(x<L\)が成り立つところまで\(x\)を小さくすれば\(\left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \)が成り立つことになります。特に、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)が成り立つのであれば、最初に設定する\(\varepsilon \)はどんなに小さくとることもでき、その\(\varepsilon \)に応じて上のような\(L\)が得られるはずです。以上の主張を論理式を用いて表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0\ \forall x\in X:\left( x<L\ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\beta \in \mathbb{R}\)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\beta \)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(負の無限大における関数の収束)
\(f\left( x\right) =\frac{1}{x}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}:\left( x<L\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(x<0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &-\frac{1}{x}<\varepsilon \\
&\Rightarrow &x<-\frac{1}{\varepsilon }
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(L\)の候補として\(L=-\frac{1}{\varepsilon }<0\)を選びます。実際、\(x<-\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x<-\frac{1}{\varepsilon } &\Rightarrow &\varepsilon >-\frac{1}{x}\quad \because x<0 \\
&\Rightarrow &\varepsilon >\left\vert \frac{1}{x}\right\vert \quad \because x<0 \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

無限大における関数の極限の一意性

関数が正もしくは負の無限大において収束するとき、その極限は常に一意的です。

命題(関数の無限における極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が正の無限大において収束する場合には、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)\)は一意的である。また、負の無限大において収束する場合には、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)\)は一意的である。
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関数が点や無限大において収束することはいずれも収束列を使って表現することもできます。次回はこのことについて解説します。
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