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無限大における関数の極限

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正の無限大における関数の極限

これまでは関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、その変数\(x\)がある実数\(a\)とは異なる定義域\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づく際の\(f\)の極限について考えましたが、\(X=\mathbb{R} \)の場合など、\(f\)が限りなく大きい任意の実数において定義されている場合には、変数\(x\)が限りなく大きくなる場合の\(f\)の極限を考えることもできます。

具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が限りなく大きい任意の実数を要素として持つとき、変数\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(b\)に限りなく近づくならば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は\(b\)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記します。繰り返しになりますが、\(x\)が限りなく大きくなる場合の\(f\)の収束可能性について議論する際には、\(f\)は限りなく大きい任意の実数において定義されている必要があります。具体例を挙げると、関数\(f\)の定義域\(X\)が全区間\(\mathbb{R} \)や無限区間\([s,+\infty ),(s,+\infty )\)などであれば問題ありません。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)が有界な区間\(\left[ s,t\right] ,\left( s,t\right) \)である場合などには、\(f\)は限りなく大きい任意の実数において定義されていないため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\left( x\right) \)の値の挙動を調べることができず、したがって\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)が収束するかどうかを検討することさえできません。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに実数\(b\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。まず、\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近いと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(x\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値以上の任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある正の実数\(M>0\)が存在して、\(x>M\)を満たす任意の\(x\)について\(\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}
\exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \)が\(b\)に収束することとは、\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、限りなく小さい実数\(\varepsilon \)を選んだ場合においても、\(x\)が大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 1\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad\cdots (2)
\end{equation}と表現できます。そこで、関数\(f\)が実数\(b\)に対して\(\left( 2\right) \)を満たす場合、\(f\)は\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記します。以上が関数が正の無限大において収束することの定義です。

例(正の無限大における関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものと定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( x>M\Rightarrow \left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(x>0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\frac{1}{x}<\varepsilon \\
&\Rightarrow &x>\frac{1}{\varepsilon }
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(M\)の候補として、\begin{equation*}
M=\frac{1}{\varepsilon }>0
\end{equation*}を選びます。実際\(x>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x>\frac{1}{\varepsilon } &\Rightarrow &\varepsilon >\frac{1}{x}\quad
\because x>0 \\
&\Rightarrow &\varepsilon >\left\vert \frac{1}{x}\right\vert \quad \because
x>0 \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

負の無限大における関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなる場合の極限について考えましたが、\(X=\mathbb{R} \)の場合など、\(f\)が限りなく小さい任意の実数において定義されている場合には、変数\(x\)が限りなく小さくなる場合の関数\(f\)の極限を考えることもできます。

具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が限りなく小さい任意の実数を要素として持つとき、変数\(x\)が定義域\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(b\)に限りなく近づくならば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)は\(b\)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記します。繰り返しになりますが、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の収束可能性について議論する際には、当然ながら、\(f\)は限りなく小さい任意の実数において定義されている必要があります。具体例を挙げると、関数\(f\)の定義域\(X\)が全区間\(\mathbb{R} \)や無限区間\((-\infty ,t],(-\infty ,t)\)などであれば問題ありません。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)が有界な区間\(\left[ s,t\right] ,\left( s,t\right) \)である場合などには、\(f\)は限りなく小さい任意の実数において定義されていないため、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\left( x\right) \)の値の挙動を調べることができず、したがって\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)が収束するかどうかを検討することさえできません。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow -\infty \)のときに実数\(b\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。まず、\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近いと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(x\)が小さくなるにつれて」という表現の定式化です。\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値以下の任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある負の実数\(L<0\)が存在して、\(x<L\)を満たす任意の\(x\)について\(\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}
\exists L<0,\ \forall x\in X:\left( x<L\Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \)が\(b\)に収束することとは、\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、限りなく小さい実数\(\varepsilon \)を選んだ場合においても、\(x\)が小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 1\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in X:\left( x<L\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad\cdots (2)
\end{equation}と表現できます。そこで、関数\(f\)が実数\(b\)に対して\(\left( 2\right) \)を満たす場合、\(f\)は\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記します。以上が関数が負の無限大において収束することの定義です。

例(負の無限大における関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものと定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( x<L\Rightarrow \left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(x<0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &-\frac{1}{x}<\varepsilon \\
&\Rightarrow &x<-\frac{1}{\varepsilon }
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(L\)の候補として、\begin{equation*}
L=-\frac{1}{\varepsilon }<0
\end{equation*}を選びます。実際、\(x<-\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x<-\frac{1}{\varepsilon } &\Rightarrow &\varepsilon >-\frac{1}{x}\quad
\because x<0 \\
&\Rightarrow &\varepsilon >\left\vert \frac{1}{x}\right\vert \quad \because
x<0 \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{1}{x}-0\right\vert <\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

数列を用いた無限大における関数の極限の定義

関数が正の無限大において収束することは収束列を用いて表現することもできます。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(X\)の点を項とするとともに、正の無限大へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。証明は以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)について\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b\)が成り立つものとします。つまり、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。その上で、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大へ発散することから、\(\left( 1\right) \)中の\(M>0\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}>M\right) \quad\cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(x_{n} \in X\)であることを踏まえると、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x_{n}\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論により、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f\left( x_{n}\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されましたが、これは数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することの定義に他なりません。

命題(発散数列と収束関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\rightarrow +\infty \)のときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(発散数列と収束関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
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この命題について注意しなければならないのは、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大へ発散する任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することを前提条件として保証する必要があるということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が少なくとも1つ存在することを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、正の無限大において関数が収束することは数列を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(発散数列と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。
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負の無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=-\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶと言うことです。さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することと、\(x\rightarrow -\infty \)のときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することは必要十分です(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(発散数列と収束関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。
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無限大における関数の極限の一意性

関数が正の無限大において収束するとき、その極限は常に一意的です。そのことを示すために、関数\(f\)が正の無限大において異なる2つの実数\(b_{1},b_{2} \)へ収束するものと仮定します。\(b_{1}>b_{2}\)としても一般性は失われません。収束の定義より、このとき、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists M_{1}>0\ \forall x\in X:\left(
x>M_{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b_{1}\right\vert
<\varepsilon \right) \\
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists M_{2}>0\ \forall x\in X:\left(
x>M_{2}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b_{2}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
M=\max \{M_{1},M_{2}\}
\end{equation*}とおくと、\(x>M\)を満たす任意の\(x\in X\)について、\begin{equation*}
\left\vert b_{1}-b_{2}\right\vert <b_{1}-b_{2}
\end{equation*}が成り立つことが導かれますが(演習問題にします)、これは\(b_{1}>b_{2}\)と矛盾です。

関数が負の無限大において収束する場合にも、その極限は常に一意的です。証明は上と同様です。

命題(関数の無限大における極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が正の無限大\(+\infty \)において収束する場合には、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)\in \mathbb{R} \)は一意的である。また、\(f\)が負の無限大\(-\infty \)において収束する場合には、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)\in \mathbb{R} \)は一意的である。
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次回は関数が発散することについて解説します。

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