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実数の定義

指数が整数である場合の累乗

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指数が整数である場合の実数の累乗

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。では、指数を自然数\(n\in \mathbb{N} \)から整数\(z\in \mathbb{Z} \)へ拡張した場合の累乗\begin{equation*}a^{z}
\end{equation*}をどのように定義すればよいでしょうか。

以降では、底\(a\)は非ゼロの実数であるものとします。指数\(z\)が正の整数である場合には\(z\)は自然数に他ならず、したがって、この場合の累乗\(a^{z}\)の定義としては自然数指数の累乗の定義を引き続き採用します。つまり、\(a\not=0\)かつ\(z>0\)の場合の累乗を、\begin{equation*}a^{z}=\overset{z\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義します。実数集合\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため、この場合には\(a^{z}\)は必ず1つの実数として定まります。

続いて、指数\(z\)がゼロである場合の累乗\(a^{0}\)について考えます。指数が自然数である場合の累乗に関する指数法則より、\(m>n\)を満たす自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選ぶと、\begin{equation}\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、\(m=n\)を満たす自然数\(m,n\)に対しても\(\left( 1\right) \)が成り立つものと指数法則を拡張するのであれば、\begin{eqnarray*}1 &=&\frac{a^{m}}{a^{n}}\quad \because m=n \\
&=&a^{m-n}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&a^{0}\quad \because m=n
\end{eqnarray*}を得ます。そこで、\(a\not=0\)かつ\(z=0\)である場合の累乗を、\begin{equation*}a^{0}=1
\end{equation*}と定義します。

最後に、指数\(z\)が負の整数である場合の累乗\(a^{z}\)について考えます。負の整数\(z\)は何らかの自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表現できるため、この場合には、\begin{equation*}a^{z}=a^{-n}
\end{equation*}と表現できます。指数が自然数である場合の累乗に関する指数法則より、\(m>n\)を満たす自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選ぶと、\begin{equation}\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちますが、\(m=0\)に対しても\(\left( 2\right) \)が成り立つものと指数法則を拡張するのであれば、\begin{eqnarray*}\frac{1}{a^{-z}} &=&\frac{1}{a^{n}}\quad \because z=-n \\
&=&\frac{a^{0}}{a^{n}}\quad \because a^{0}=1 \\
&=&a^{0-n}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&a^{-n} \\
&=&a^{z}
\end{eqnarray*}となります。そこで、\(a\not=0\)かつ\(z<0\)の場合の累乗を、\begin{equation*}a^{z}=\frac{1}{a^{-z}}
\end{equation*}と定義します。仮定より\(a\not=0\)であるため\(a^{n}\not=0\)すなわち\(a^{-z}\not=0\)です。実数集合\(\mathbb{R} \)は除法について閉じているため(ゼロで割ることを除く)、この場合には\(\frac{1}{a^{-z}}\)すなわち累乗\(a^{z}\)は必ず1つの実数として定まります。

結論をまとめます。非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、底が\(a\)であり指数が\(z\)であるような累乗は、\begin{equation*}a^{z}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{z} & \left( if\ z>0\right) \\
1 & \left( if\ z=0\right) \\
\dfrac{1}{a^{-z}} & \left( if\ n<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されます。

底\(a\)がゼロの場合には、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を非ゼロに限定した上で、\begin{equation*}0^{z}=\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ z>0\right) \\
1 & \left( if\ z=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(自然数の整数乗)
\(1\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}&&\vdots \\
1^{-2} &=&\frac{1}{1^{2}}=\frac{1}{1\cdot 1}=1 \\
1^{-1} &=&\frac{1}{1^{1}}=\frac{1}{1}=1 \\
1^{0} &=&1 \\
1^{1} &=&1 \\
1^{2} &=&1\cdot 1=1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数の整数乗)
\(2\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}&&\vdots \\
2^{-2} &=&\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4} \\
2^{-1} &=&\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2} \\
2^{0} &=&1 \\
2^{1} &=&1 \\
2^{2} &=&2\cdot 2=2 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数の整数乗)
\(10\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}&&\vdots \\
10^{-2} &=&\frac{1}{10^{2}}=\frac{1}{10\cdot 10}=\frac{1}{100} \\
10^{-1} &=&\frac{1}{10^{1}}=\frac{1}{10} \\
10^{0} &=&1 \\
10^{1} &=&10 \\
10^{2} &=&10\cdot 10=100 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(整数の自然数乗)
\(-1\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}&&\vdots \\
\left( -1\right) ^{-2} &=&\frac{1}{\left( -1\right) ^{2}}=\frac{1}{\left(
-1\right) \cdot \left( -1\right) }=1 \\
\left( -1\right) ^{-1} &=&\frac{1}{\left( -1\right) ^{1}}=\frac{1}{-1}=-1 \\
\left( -1\right) ^{0} &=&1 \\
\left( -1\right) ^{1} &=&-1 \\
\left( -1\right) ^{2} &=&\left( -1\right) \cdot \left( -1\right) =1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}
例(有理数の自然数乗)
\(\frac{1}{10}\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}&&\vdots \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{-2} &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{10}\right) ^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}}=100 \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{-1} &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{10}\right) ^{1}}=10 \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{0} &=&1 \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{1} &=&\frac{1}{10} \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{2} &=&\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{100} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(指数表記)
大きな数値を表記する際や、逆に非常に小さい正の整数を表記する際には、整数指数の累乗を利用することにより表記を簡素化できるだけでなく、数どうしの比較も簡単になります。具体例を挙げると、真空中の光の速度(m/s)は、\begin{equation*}
2.99792458\times 10^{8}
\end{equation*}です。電子の質量(kg)は、\begin{equation*}
9.1093897\times 10^{-31}
\end{equation*}です。アリの平均体重(g)は、\begin{equation*}
6\times 10^{-3}
\end{equation*}です。オスのシロサイの平均体重(kg)は、\begin{equation*}
2.3\times 10^{3}
\end{equation*}です。このような表記方法を指数表記(exponential notation)と呼びます。

 

累乗の符号

非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{z}\not=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、非ゼロの実数の累乗は非ゼロです。

命題(非ゼロの実数の整数乗は非ゼロ)
非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{z}\not=0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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正の実数\(a>0\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{z}>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、正の実数の整数乗は正の実数です。

命題(正の実数の整数乗は正)
正の実数\(a>0\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{z}>0
\end{equation*}が成り立つ。

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負の整数乗の解釈

非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-1}=\frac{1}{a}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(a\)の\(-1\)乗は\(a\)の乗法逆元である\(a\)の逆数\(\frac{1}{a}\)と一致します。

命題(負の整数乗の解釈)
非負の実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{-1}=\frac{1}{a}
\end{equation*}が成り立つ。

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非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-n}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{n}=\left( a^{n}\right) ^{-1}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)の\(-n\)乗は\(a\)の逆数の\(n\)乗や、\(a\)の\(n\)乗の\(-1\)乗と一致します。

命題(負の整数乗の解釈)
非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{-n}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{n}=\left( a^{n}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成り立つ。

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底を共有する累乗の積

非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}a^{z_{1}}\cdot a^{z_{2}}=a^{z_{1}+z_{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{z_{1}},a^{z_{2}}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{z_{1}}\cdot a^{z_{2}}\)を求めるためには指数どうしの和\(z_{1}+z_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{z_{1}+z_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の積)
非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{z_{1}}\cdot a^{z_{2}}=a^{z_{1}+z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(底を共有する累乗の積)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
2^{-3}\cdot 2^{2} &=&2^{-3+2}=2^{-1} \\
3^{-4}\cdot 3^{-2} &=&3^{-4-2}=3^{-6} \\
\left( -2\right) ^{2}\cdot \left( -2\right) ^{-3} &=&\left( -2\right)
^{2-3}=\left( -2\right) ^{-1} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\cdot \left( \frac{2}{3}\right) ^{-4}
&=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{2-4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{-2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

底を共有する累乗の商

非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\frac{a^{z_{1}}}{a^{z_{2}}}=a^{z_{1}-z_{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する累乗\(a^{z_{1}},a^{z_{1}}\)が与えられたとき、それらの商\(\frac{a^{z_{1}}}{a^{z_{2}}}\)を求めるためには指数どうしの差\(z_{1}-z_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{z_{1}-z_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の商)
非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{z_{1}}}{a^{z_{2}}}=a^{z_{1}-z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(底を共有する累乗の商)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\frac{2^{3}}{2^{-2}} &=&2^{3-\left( -2\right) }=2^{5} \\
\frac{3^{-4}}{2^{-2}} &=&3^{\left( -3\right) -\left( -2\right) }=3^{-1} \\
\frac{\left( -2\right) ^{3}}{\left( -2\right) ^{-4}} &=&\left( -2\right)
^{3-\left( -4\right) }=\left( -2\right) ^{7} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{-4}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{-4-2}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{-6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の累乗

非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( a^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}=a^{z_{1}z_{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、累乗\(a^{z_{1}}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}\)を求めるためには指数どうしの積\(z_{1}z_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{z_{1}z_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(累乗の累乗)
非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( a^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}=a^{z_{1}z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(累乗の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2^{3}\right) ^{-2} &=&2^{3\left( -2\right) }=2^{-6} \\
\left( 3^{-2}\right) ^{4} &=&3^{\left( -2\right) \cdot 4}=3^{-8} \\
\left( \left( -2\right) ^{2}\right) ^{-3} &=&\left( -2\right) ^{2\left(
-3\right) }=\left( -2\right) ^{-6} \\
\left( \left( \frac{2}{3}\right) ^{-2}\right) ^{-4} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{\left( -2\right) \left( -4\right) }=\left( \frac{2}{3}\right) ^{8}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

積の累乗

非ゼロの実数\(a,b\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{z}=a^{z}b^{z}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right) ^{z}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{z}\)と\(b\)の累乗\(b^{z}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(積の累乗)
非ゼロの実数\(a,b\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{z}=a^{z}b^{z}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(積の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2\cdot 3\right) ^{2} &=&2^{2}\cdot 3^{2} \\
\left( 3\cdot 2\right) ^{-4} &=&3^{-4}\cdot 2^{-4} \\
\left( \left( -2\right) \cdot 3\right) ^{2} &=&\left( -2\right) ^{2}\cdot
3^{2} \\
\left( \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\right) ^{-5} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{-5}\cdot \left( \frac{2}{5}\right) ^{-5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

整数指数の累乗に関する指数法則

得られた結果をまとめます。指数が整数であるような累乗を計算する際には以下の関係式を利用できます。これらを総称して指数法則(laws of exponents)と呼びます。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :a^{-1}=\frac{1}{a} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{Z} :a^{-z}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{z}=\left( a^{z}\right) ^{-1} \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :a^{z_{1}}\cdot a^{z_{2}}=a^{z_{1}+z_{2}} \\
&&\left( d\right) \ \forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :\frac{a^{z_{1}}}{a^{z_{2}}}=a^{z_{1}-z_{2}} \\
&&\left( e\right) \ \forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :\left( a^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}=a^{z_{1}z_{2}} \\
&&\left( f\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{Z} :\left( ab\right) ^{z}=a^{z}b^{z} \\
&&\left( g\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{Z} :\left( \frac{a}{b}\right) ^{z}=\frac{a^{z}}{b^{z}}
\end{eqnarray*}

 

演習問題

問題(指数法則)
以下の値を計算してください。

  1. \(3^{-3}\)
  2. \(11^{0}\)
  3. \(\frac{3^{-2}}{8^{-3}}\)
  4. \(\left( 1^{-3}\right) ^{6}\)
  5. \(\left[ 17^{10}\right] ^{-30}\cdot \left[ 17^{30}\right] ^{-10}\)
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