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整数指数の累乗

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整数指数の累乗

正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。では、正の実数\(a>0\)が与えられたとき、指数を自然数\(n\in \mathbb{N} \)から整数\(z\in \mathbb{Z} \)へ拡張した累乗\begin{equation*}a^{z}
\end{equation*}をどのように定義すればよいでしょうか。

\(z>0\)を満たす整数\(z\)は自然数であるため、この場合の累乗\(a^{z}\)の定義としては自然数指数の累乗の定義を引き続き採用します。つまり、\(z>0\)の場合には、\begin{equation*}a^{z}=\overset{z\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}
\end{equation*}です。実数空間\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため、正の実数\(a\)と自然数\(z\)に対して\(a^{z}\)が1つの正の実数として定まることが保証されます。

\(z=0\)の場合の累乗、すなわち\(a^{0}\)をどのように定義すればよいでしょうか。自然数指数の累乗に関する指数法則より、\(m>n\)を満たす自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選ぶと、\begin{equation}\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。仮に\(\left( 1\right) \)が\(m=n\)を満たす自然数\(m,n\)に対しても成り立つものと認めるのであれば、\begin{eqnarray*}1 &=&\frac{a^{m}}{a^{n}}\quad \because m=n \\
&=&a^{m-n}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&a^{0}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
a^{0}=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。そこで、\(\left( 2\right) \)を\(a^{0}\)の定義とします。\(1\in \mathbb{R} \)であるため、それと等しい\(a^{0}\)は1つの正の実数です。

\(z<0\)を満たす整数\(z\)に対して、\(a^{z}\)をどのように定義すればよいでしょうか。負の整数\(z\)は何らかの自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表現できるため、この場合、\begin{equation*}a^{z}=a^{-n}
\end{equation*}と表すことができます。先の指数法則\(\left(1\right) \)が\(m=0\)に対しても成り立つものと認めるのであれば、\begin{eqnarray*}\frac{1}{a^{n}} &=&\frac{a^{0}}{a^{n}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&a^{0-n}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&a^{-n}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。そこで、\(\left( 3\right) \)を\(a^{-n}\)の定義とします。実数空間\(\mathbb{R} \)は除法について閉じているため(ゼロで割ることを除く)、正の実数\(1,a^{n}\)に対して\(\frac{1}{a^{n}}\)が1つの正の実数として定まるため、それと等しい\(a^{-n}\)もまた1つの実数です。

以上により、指数が整数であるような累乗の定義が完了しました。

例(整数乗)
\(1\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}&&\vdots \\
1^{-2} &=&\frac{1}{1\cdot 1}=1 \\
1^{-1} &=&\frac{1}{1}=1 \\
1^{0} &=&1 \\
1^{1} &=&1 \\
1^{2} &=&1\cdot 1=1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(整数乗)
\(10\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}&&\vdots \\
10^{-2} &=&\frac{1}{10\cdot 10}=\frac{1}{100} \\
10^{-1} &=&\frac{1}{10} \\
10^{0} &=&1 \\
10^{1} &=&10 \\
10^{2} &=&10\cdot 10=100 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(整数乗)
\(\frac{1}{10}\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}&&\vdots \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{-2} &=&\frac{1}{\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}}=100 \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{-1} &=&\frac{1}{\frac{1}{10}}=10 \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{0} &=&1 \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{1} &=&\frac{1}{10} \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{2} &=&\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{100} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(整数乗)
非常に大きな数値や非常に小さい正の整数を表記する際には、整数指数の累乗を利用することにより表記を簡素化できるだけでなく、数どうしの比較も簡単になります。例えば、真空中の光の速度(m/s)は、\begin{equation*}
2.99792458\times 10^{8}
\end{equation*}です。電子の質量(kg)は、\begin{equation*}
9.1093897\times 10^{-31}
\end{equation*}です。アリの平均体重(g)は、\begin{equation*}
6\times 10^{-3}
\end{equation*}です。オスのシロサイの平均体重(kg)は、\begin{equation*}
2.3\times 10^{3}
\end{equation*}です。このような表記方法を指数表記(exponential notation)と呼びます。

 

累乗の符号

正の実数\(a>0\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{z}>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、整数指数の累乗は正の実数です。

命題(累乗の符号)
正の実数\(a>0\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{z}>0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(累乗の符号)
累乗の定義より、\begin{eqnarray*}
2^{-3} &=&\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{8}>0 \\
0^{-3} &=&1>0 \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{-3} &=&\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=8>0
\end{eqnarray*}などが成り立ちますが、これは上の命題の主張と整合的です。

 

負の整数乗の解釈

正の実数\(a>0\)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-1}=\frac{1}{a}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)の\(-1\)乗は\(a\)の乗法逆元である\(a\)の逆数\(\frac{1}{a}\)と一致します。

命題(負の整数乗の解釈)
正の実数\(a>0\)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-1}=\frac{1}{a}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-n}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{n}=\left( a^{n}\right) ^{-1}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)の\(-n\)乗は\(a\)の逆数の\(n\)乗や、\(a\)の\(n\)乗の\(-1\)乗と一致します。

命題(負の整数乗の解釈)
正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-n}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{n}=\left( a^{n}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成り立つ。

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底を共有する累乗の積

正の実数\(a>0\)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{z_{1}}\cdot a^{z_{2}}=a^{z_{1}+z_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{z_{1}},a^{z_{2}}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{z_{1}}\cdot a^{z_{2}}\)を求めるためには指数どうしの和\(z_{1}+z_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{z_{1}+z_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の積)
正の実数\(a>0\)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{z_{1}}\cdot a^{z_{2}}=a^{z_{1}+z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(底を共有する累乗の積)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
2^{-3}\cdot 2^{2} &=&2^{-3+2}=2^{-1} \\
3^{-4}\cdot 3^{-2} &=&3^{-4-2}=3^{-6} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\cdot \left( \frac{2}{3}\right) ^{-4}
&=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{2-4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{-2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

底を共有する累乗の商

正の実数\(a>0\)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{z_{1}}}{a^{z_{2}}}=a^{z_{1}-z_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する累乗\(a^{z_{1}},a^{z_{1}}\)が与えられたとき、それらの商\(\frac{a^{z_{1}}}{a^{z_{2}}}\)を求めるためには指数どうしの差\(z_{1}-z_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{z_{1}-z_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の商)
正の実数\(a>0\)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{z_{1}}}{a^{z_{2}}}=a^{z_{1}-z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(底を共有する累乗の商)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\frac{2^{3}}{2^{-2}} &=&2^{3-\left( -2\right) }=2^{5} \\
\frac{3^{-4}}{2^{-2}} &=&3^{\left( -3\right) -\left( -2\right) }=3^{-1} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{-4}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{-4-2}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{-6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の累乗

正の実数\(a>0\)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}=a^{z_{1}z_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、累乗\(a^{z_{1}}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}\)を求めるためには指数どうしの積\(z_{1}z_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{z_{1}z_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(累乗の累乗)
正の実数\(a>0\)整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}=a^{z_{1}z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(累乗の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2^{3}\right) ^{-2} &=&2^{3\left( -2\right) }=2^{-6} \\
\left( 3^{-2}\right) ^{4} &=&3^{\left( -2\right) \cdot 4}=3^{-8} \\
\left( \left( \frac{2}{3}\right) ^{-2}\right) ^{-4} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{\left( -2\right) \left( -4\right) }=\left( \frac{2}{3}\right) ^{8}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

積の累乗

正の実数\(a,b>0\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{z}=a^{z}b^{z}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right) ^{z}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{z}\)と\(b\)の累乗\(b^{z}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(積の累乗)
正の実数\(a,b>0\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{z}=a^{z}b^{z}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(積の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2\cdot 3\right) ^{-2} &=&2^{-2}\cdot 3^{-2} \\
\left( 3\cdot 2\right) ^{-4} &=&3^{-4}\cdot 2^{-4} \\
\left( \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\right) ^{-5} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{-5}\cdot \left( \frac{2}{5}\right) ^{-5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

整数指数の累乗に関する指数法則

得られた結果をまとめておきましょう。指数が整数であるような累乗を計算する際には以下の関係式を利用できます。これらを総称して指数法則(laws of exponents)と呼びます。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a>0:a^{-1}=\frac{1}{a} \\
&&\left( b\right) \ \forall a>0,\ \forall z\in \mathbb{Z} :a^{-z}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{z}=\left( a^{z}\right) ^{-1} \\
&&\left( c\right) \ \forall a>0,\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :a^{z_{1}}\cdot a^{z_{2}}=a^{z_{1}+z_{2}} \\
&&\left( d\right) \ \forall a>0,\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :\frac{a^{z_{1}}}{a^{z_{2}}}=a^{z_{1}-z_{2}} \\
&&\left( e\right) \ \forall a>0,\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :\left( a^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}=a^{z_{1}z_{2}} \\
&&\left( f\right) \ \forall a,b>0,\ \forall z\in \mathbb{Z} :\left( ab\right) ^{z}=a^{z}b^{z} \\
&&\left( g\right) \ \forall a,b>0,\ \forall z\in \mathbb{Z} :\left( \frac{a}{b}\right) ^{z}=\frac{a^{z}}{b^{z}}
\end{eqnarray*}

 

演習問題

問題(指数法則)
以下の値を計算してください。

  1. \(3^{-3}\)
  2. \(11^{0}\)
  3. \(\frac{3^{-2}}{8^{-3}}\)
  4. \(\left( 1^{-3}\right) ^{6}\)
  5. \(\left[ 17^{10}\right] ^{-30}\cdot \left[ 17^{30}\right] ^{-10}\)
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次回は指数が有理数であるような累乗について解説します。

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