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指数が整数である場合の累乗

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正の実数の整数乗

復習になりますが、正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(x\)の\(n\)乗を、\begin{equation*}x^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{x\cdot \cdots \cdot x}}
\end{equation*}と定義した場合、これは以下の指数法則を満たします。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m>n\Rightarrow \frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( x^{m}\right) ^{n}=x^{mn} \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( xy\right) ^{n}=x^{n}y^{n} \\
&&\left( e\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( \frac{x}{y}\right) ^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}
\end{eqnarray*}

累乗\(x^{n}\)の指数\(n\)を自然数から整数へ拡張した場合にも同様の命題が成り立つでしょうか。そもそも、正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\(x\)の\(z\)乗である\begin{equation*}x^{z}
\end{equation*}をどのように定義すればよいでしょうか。

\(z>0\)の場合には\(z\)は自然数となるため、これは自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて\(z=n\)と表すことができます。つまり、\begin{equation*}x^{z}=x^{n}
\end{equation*}となりますが、指数が自然数であるような累乗についてはすでに解説した通りです。

\(z=0\)の場合の累乗、すなわち\(x^{0}\)をどのように定義すればよいでしょうか。先の指数法則中の\(\left( b\right) \)が\(m=n\)の場合にも成立するようにするためには、\begin{equation*}\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}=x^{0}
\end{equation*}である必要があります。右辺の\(x^{0}\)はまだ定義されていませんが、\(m=n\)を踏まえると、左辺については\(\frac{x^{m}}{x^{n}}=1\)が成り立ちます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}x^{0}=1
\end{equation*}と定義します。

\(z<0\)の場合の累乗\(x^{z}\)をどのように定義すればよいでしょうか。負の整数\(z\)は自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて\(z=-n\)と表現できるため、この場合、\begin{equation*}x^{z}=x^{-n}
\end{equation*}と表すことができます。先の指数法則中の\(\left( b\right) \)において\(m=0\)とおくと、\begin{equation*}\frac{x^{0}}{x^{n}}=x^{0-n}=x^{-n}
\end{equation*}を得ますが、先に\(x^{0}=1\)と定義したことを踏まえると、このとき、\begin{equation*}x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を得るため、これを\(x^{-n}\)の定義として採用します。以上で指数が整数である場合の累乗の定義が完了しました。

実数空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は乗法について閉じているため、正の実数\(x\)と自然数\(n\)が任意に与えられたとき\(x^{n}\)は1つの実数として定まります。しかもこれは正の実数であるため\(\frac{1}{x^{n}}\)もまた1つの実数として定まります。また、\(\mathbb{R} \)の定義より\(1\in \mathbb{R} \)です。したがって、正の実数\(x\)と整数\(z\)が任意に与えられたとき、\(x^{z}\)は1つの実数として定まることが保証されます。

例(正の実数の整数乗)
\(1\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}1^{2} &=&1\cdot 1=1 \\
1^{1} &=&1=1 \\
1^{0} &=&1 \\
1^{-1} &=&\frac{1}{1^{1}}=\frac{1}{1}=1 \\
1^{-2} &=&\frac{1}{1^{2}}=\frac{1}{1\cdot 1}=\frac{1}{1}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(正の実数の整数乗)
\(2\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}2^{2} &=&2\cdot 2=4 \\
2^{1} &=&2=2 \\
2^{0} &=&1 \\
2^{-1} &=&\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2} \\
2^{-2} &=&\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(正の実数の整数乗)
\(\frac{1}{2}\)の整数乗については、\begin{eqnarray*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2} &=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{1} &=&\frac{1}{2} \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{0} &=&1 \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{-1} &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right) ^{1}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2 \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{-2} &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

負の整数乗の解釈

正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、指数が整数である場合の累乗の定義より、\begin{equation*}x^{-1}=\frac{1}{x^{1}}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、指数が自然数である場合の累乗の定義より、\begin{equation*}
x^{1}=x
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
x^{-1}=\frac{1}{x}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(x\)の\(-1\)乗は\(x\)の乗法逆元すなわち\(x\)の逆数\(\frac{1}{x}\)と一致します。

命題(負の整数乗の解釈)
正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、\begin{equation*}x^{-1}=\frac{1}{x}
\end{equation*}が成り立つ。

正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、指数が整数である場合の累乗の定義より、\begin{equation*}x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、指数が自然数である場合の指数法則より、\begin{equation}
\left( \frac{1}{x}\right) ^{n}=\frac{1^{n}}{x^{n}}=\frac{1}{x^{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{equation}
x^{-n}=\left( \frac{1}{x}\right) ^{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(x\)の\(-n\)乗は\(x\)の逆数の\(n\)乗と一致します。加えて、先の命題より、\begin{equation*}\left( x^{n}\right) ^{-1}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を得るため、これと\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}x^{-n}=\left( x^{n}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)の\(-n\)上は\(x\)の\(n\)乗の\(-1\)乗とも一致します。

命題(負の整数乗の解釈)
正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}x^{-n}=\left( \frac{1}{x}\right) ^{n}=\left( x^{n}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成り立つ。

 

底を共有する累乗の積

正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、指数法則より、\begin{equation*}x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、同じ底\(x\)を共有する累乗\(x^{m},x^{n}\)が与えられたとき、それらの積\(x^{m}\cdot x^{n}\)を求めるためには指数どうしの和\(m+n\)をとり、それを指数とする累乗\(x^{m+n}\)をとればよいということです。指数が整数である場合の累乗の定義と先の命題を踏まえると、指数が整数である場合にも上と同様の命題が成立することが示されます。

命題(底を共有する累乗の積)
正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}x^{z_{1}}\cdot x^{z_{2}}=x^{z_{1}+z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(底を共有する累乗の積)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
2^{-3}\cdot 2^{2} &=&2^{-3+2}=2^{-1} \\
3^{-4}\cdot 3^{-2} &=&3^{-4-2}=3^{-6} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\cdot \left( \frac{2}{3}\right) ^{-4}
&=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{2-4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{-2}
\end{eqnarray*}

 

底を共有する累乗の商

正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と\(m>n\)を満たす自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、指数法則より、\begin{equation*}\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、同じ底\(x\)を共有する累乗\(x^{m},x^{n}\)が与えられたとき、\(m>n\)という条件のもと、それらの商\(\frac{x^{m}}{x^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(m-n\)をとり、それを指数とする累乗\(x^{m-n}\)をとればよいということです。指数が整数である場合の累乗の定義と先の命題を踏まえると、指数が整数である場合にも上と同様の命題が成立することが示されます。

命題(底を共有する累乗の商)
正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{x^{z_{1}}}{x^{z_{2}}}=x^{z_{1}-z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(底を共有する累乗の商)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\frac{2^{3}}{2^{-2}} &=&2^{3-\left( -2\right) }=2^{5} \\
\frac{3^{-4}}{2^{-2}} &=&3^{\left( -3\right) -\left( -2\right) }=3^{-1} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{-4}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{-4-2}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{-6}
\end{eqnarray*}

 

累乗の累乗

正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、指数法則より、\begin{equation*}\left( x^{m}\right) ^{n}=x^{mn}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、累乗\(x^{m}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( x^{m}\right) ^{n}\)を求めるためには指数どうしの積\(mn\)をとり、それを指数とする累乗\(x^{mn}\)をとればよいということです。指数が整数である場合の累乗の定義と先の命題を踏まえると、指数が整数である場合にも上と同様の命題が成立することが示されます。

命題(累乗の累乗)
正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( x^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}=x^{z_{1}z_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(累乗の累乗)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\left( 2^{3}\right) ^{-2} &=&2^{3\left( -2\right) }=2^{-6} \\
\left( 3^{-2}\right) ^{4} &=&3^{\left( -2\right) \cdot 4}=3^{-8} \\
\left( \left( \frac{2}{3}\right) ^{-2}\right) ^{-4} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{\left( -2\right) \left( -4\right) }=\left( \frac{2}{3}\right) ^{8}
\end{eqnarray*}

 

積の累乗

正の実数\(x,y\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、指数法則より、\begin{equation*}\left( xy\right) ^{n}=x^{n}y^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、正の実数\(x,y\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( xy\right) ^{n}\)を求めるためには、\(x\)の累乗\(x^{n}\)と\(y\)の累乗\(y^{n}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。指数が整数である場合の累乗の定義と先の命題を踏まえると、指数が整数である場合にも上と同様の命題が成立することが示されます。

命題(積の累乗)
正の実数\(x,y\in \mathbb{R} _{++}\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( xy\right) ^{z}=x^{z}y^{z}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(積の累乗)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\left( 2\cdot 3\right) ^{-2} &=&2^{-2}\cdot 3^{-2} \\
\left( 3\cdot 2\right) ^{-4} &=&3^{-4}\cdot 2^{-4} \\
\left( \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\right) ^{-5} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{-5}\cdot \left( \frac{2}{5}\right) ^{-5}
\end{eqnarray*}

 

商の累乗

正の実数\(x,y\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、指数法則より、\begin{equation*}\left( \frac{x}{y}\right) ^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、正の実数\(x,y\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{x}{y}\right)^{n}\)を求めるためには、\(x\)の累乗\(x^{n}\)と\(y\)の累乗\(y^{n}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。指数が整数である場合の累乗の定義と先の命題を踏まえると、指数が整数である場合にも上と同様の命題が成立することが示されます。

命題(商の累乗)
正の実数\(x,y\in \mathbb{R} _{++}\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{x}{y}\right) ^{z}=\frac{x^{z}}{y^{z}}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(積の累乗)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\left( \frac{2}{3}\right) ^{-2} &=&\frac{2^{-2}}{3^{-2}} \\
\left( \frac{3}{2}\right) ^{-4} &=&\frac{3^{-4}}{2^{-4}} \\
\left( \frac{2}{3}/\frac{2}{5}\right) ^{-5} &=&\left( \frac{2}{3}\right)
^{-5}/\left( \frac{2}{5}\right) ^{-5}
\end{eqnarray*}

 

指数法則

得られた結果をまとめておきましょう。指数が整数である場合の指数法則は以下の通りです。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{++}:x^{-1}=\frac{1}{x} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{++},\ \forall z\in \mathbb{Z} :x^{-n}=\left( \frac{1}{x}\right) ^{n}=\left( x^{n}\right) ^{-1} \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{++},\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :x^{z_{1}}\cdot x^{z_{2}}=x^{z_{1}+z_{2}} \\
&&\left( d\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{++},\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :\frac{x^{z_{1}}}{x^{z_{2}}}=x^{z_{1}-z_{2}} \\
&&\left( e\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{++},\ \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} :\left( x^{z_{1}}\right) ^{z_{2}}=x^{z_{1}z_{2}} \\
&&\left( f\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} _{++},\ \forall z\in \mathbb{Z} :\left( xy\right) ^{z}=x^{z}y^{z} \\
&&\left( g\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} _{++},\ \forall z\in \mathbb{Z} :\left( \frac{x}{y}\right) ^{z}=\frac{x^{z}}{y^{z}}
\end{eqnarray*}

 

演習問題

問題(指数法則)
以下の値を計算してください。
  1. \(3^{-3}\)
  2. \(\left( -11\right) ^{0}\)
  3. \(\frac{3^{-2}}{8^{-3}}\)
  4. \(\left[ \left( -1\right) ^{-3}\right] ^{6}\)
  5. \(\left[ 17^{10}\right] ^{-30}\cdot \left[ 17^{30}\right] ^{-10}\)
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次回は指数が有理数であるような累乗について解説します。

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