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整数ベキ関数

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整数ベキ関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を整数ベキ関数(integer power function)と呼びます。

\(z>0\)の場合、\(f\)は自然数ベキ関数となります。また、\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、\(f\)は定数関数になります。自然数ベキ関数や定数関数についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。負の整数\(z\)は自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定める整数ベキ関数\(f\)を分析対象にするということです。\(n\in \mathbb{N} \)です。ただし、ゼロで割ることは許されないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意してください。\(0\not\in X\)です。

例(負整数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}という形で表されるとき、この\(f\)は整数ベキ関数です。つまり、負整数ベキ関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能です。
例(負整数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-5}=\frac{1}{x^{5}}
\end{equation*}であるとき、この\(f\)は整数ベキ関数です。

 

整数ベキ関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。\(f\)は値として\(0\)とは異なる実数をとる点に注意してください。任意の負整数ベキ関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能であるため、これを\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=x^{-n}\)かつ\(n\in \mathbb{N} \)です。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はゼロとは異なる実数を値としてとる多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}c_{k}x^{k}\ \not=0
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
\sum\limits_{k=0}^{m}c_{k}x^{k}\right] ^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは多項式関数\(y=f\left( x\right) \)と自然数ベキ関数\(y^{n}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はゼロとは異なる実数を値としてとる有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\not=0
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}i\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n}}=\left[ \frac{h\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right] ^{n}
\end{equation*}を定める関数\(i:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは有理関数\(y=f\left( x\right) \)と自然数ベキ関数\(y^{n}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}\right) ^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(負整数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は存在するとは限らないことを示してください。
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問題(負整数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(n\)が自然数かつ偶数である場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ち、\(n\)が自然数かつ偶数である場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(負整数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(n\)が自然数かつ偶数である場合、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限して得られる\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{–}\)に制限して得られる\(f:\mathbb{R} _{–}\rightarrow \mathbb{R} \)はいずれも狭義単調関数であることを証明してください。
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次回は無理関数について学びます。

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整数ベキ関数の微分

整数ベキ関数(特に負整数ベキ関数)が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。整数ベキ関数は微分可能であるため、微分可能な関数と整数ベキ関数の合成関数は微分可能であることが保証されるとともに、その導関数を連鎖公式により求めることができます。

DISCUSSION

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