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整数ベキ関数

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整数ベキ関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を整数ベキ関数(integer power function)と呼びます。ベキ関数は累乗関数(power function)と呼ばれることもあります。

\(z>0\)の場合、\(f\)は自然数ベキ関数となります。また、\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、\(f\)は定数関数になります。自然数ベキ関数や定数関数についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。負の整数\(z\)は自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(f\)を考察対象にするということです。ただし、ゼロで割ることは許されないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意してください。

例(整数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}という形で表されるとき、この\(f\)は整数ベキ関数です。つまり、負の整数ベキ関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能です。
例(整数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

図:整数ベキ関数
図:整数ベキ関数

例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\frac{1}{\left( -1\right) ^{2}}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( -\frac{1}{2}\right) ^{2}}=4
\\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}=4 \\
f\left( 1\right) &=&\frac{1}{1^{2}}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(整数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

図:整数ベキ関数
図:整数ベキ関数

例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\frac{1}{\left( -1\right) ^{3}}=-1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( -\frac{1}{2}\right) ^{3}}=-8
\\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}}=8 \\
f\left( 1\right) &=&\frac{1}{1^{3}}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

整数ベキ関数の狭義単調性

整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)は次数に相当する自然数\(n\)の偶奇によって狭義単調関数であるための条件が以下のように変化します。

命題(整数ベキ関数の狭義単調性)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(n\)が奇数である場合には、\(\frac{1}{x^{n}}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で狭義単調減少関数である。\(n\)が偶数である場合には、\(\frac{1}{x^{n}}\)は\(\mathbb{R} _{− −}\)上で狭義単調増加であり、\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調減少である。
証明

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整数ベキ関数の値域

整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)の値域は次数に相当する自然数\(n\)の偶奇によって以下のように変化します。証明では後に導入する関数の極限と連続性の概念を利用します。

命題(整数ベキ関数の値域)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(n\)が奇数である場合には、\(\frac{1}{x^{n}}\)の値域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)である。\(n\)が偶数である場合には、\(\frac{1}{x^{n}}\)の値域は\(\mathbb{R} _{++}\)である。
証明

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例(整数ベキ関数)
関数\(\frac{1}{x^{2}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:整数ベキ関数
図:整数ベキ関数

この関数\(\frac{1}{x^{2}}\)は次数が偶数であるような整数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)であり、\(\mathbb{R} _{− −}\)上で狭義単調増加であり、\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調減少です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例(整数ベキ関数)
関数\(\frac{1}{x^{3}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:整数ベキ関数
図:整数ベキ関数

この関数\(\frac{1}{x^{3}}\)は次数が奇数であるような整数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で狭義単調減少です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

 

整数ベキ関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。\(f\)は値として\(0\)とは異なる実数をとる点に注意してください。また、負の整数ベキ関数を\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right) =\frac{1}{x^{n}}\)かつ\(n\in \mathbb{N} \)です。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は非ゼロの実数を値としてとる多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{m}x^{m}\not=0
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{\left[ c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{m}x^{m}\right] ^{n}}
\end{equation*}を値として定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは多項式関数\(f\left( x\right) \)と整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{3}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はともに多項式関数であるものとします。先の議論より、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\frac{1}{\left[ \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right] ^{n}}\not=0
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは有理関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)と整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}\right) ^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(負整数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は存在するとは限らないことを示してください。
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問題(負整数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(n\)が自然数かつ偶数である場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ち、\(n\)が自然数かつ偶数である場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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次回は無理関数について学びます。

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