整数ベキ関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を整数ベキ関数（integer power function）と呼びます。
\(z>0\)の場合、\(f\)は自然数ベキ関数となります。また、\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、\(f\)は定数関数になります。自然数ベキ関数や定数関数についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。負の整数\(z\)は自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定める整数ベキ関数\(f\)を分析対象にするということです。\(n\in \mathbb{N} \)です。ただし、ゼロで割ることは許されないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意してください。\(0\not\in X\)です。
\end{equation*}という形で表されるとき、この\(f\)は整数ベキ関数です。つまり、負整数ベキ関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能です。
\end{equation*}であるとき、この\(f\)は整数ベキ関数です。
整数ベキ関数との合成関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。\(f\)は値として\(0\)とは異なる実数をとる点に注意してください。任意の負整数ベキ関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能であるため、これを\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=x^{-n}\)かつ\(n\in \mathbb{N} \)です。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
\sum\limits_{k=0}^{m}c_{k}x^{k}\right] ^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは多項式関数\(y=f\left( x\right) \)と自然数ベキ関数\(y^{n}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}i\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n}}=\left[ \frac{h\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right] ^{n}
\end{equation*}を定める関数\(i:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは有理関数\(y=f\left( x\right) \)と自然数ベキ関数\(y^{n}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は存在するとは限らないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(n\)が自然数かつ偶数である場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ち、\(n\)が自然数かつ偶数である場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(n\)が自然数かつ偶数である場合、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限して得られる\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{–}\)に制限して得られる\(f:\mathbb{R} _{–}\rightarrow \mathbb{R} \)はいずれも狭義単調関数であることを証明してください。
次回は無理関数について学びます。
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