整数ベキ関数

次数が整数であるようなベキ関数は任意の点において収束し、かつ連続です。この事実を利用すると、ベキ関数との合成関数として表される関数の極限や連続性を容易に示すことができます。
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整数ベキ関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、整数\(z\in \mathbb{Z}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を整数ベキ関数(integer power function)と呼びます。

指数\(z\)が正の整数である場合、\(x^{z}\)は自然数ベキ関数になり、定義域は\(X=\mathbb{R} \)となります。また、指数が\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、これは定数関数になり、定義域はやはり\(X=\mathbb{R} \)です。自然数ベキ関数や定数関数についてはすでに解説したため、以降では\(z\)が負の整数の場合について考えます。負の整数\(z\)は正の整数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、以降では負の指数を\(-n\)で表します。

自然数ベキ関数について復習する 定数関数について復習する

指数が負の整数である場合のベキ関数を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と定義します。これは定数関数\(1\)と、自然数ベキ関数\(x^{n}\)の商です。ゼロで割ることは許されないため、この\(f\)は点\(x=0\)において定義されないことに注意してください。したがって、関数\(f\)の定義域は\(X=\mathbb{R}\backslash \{0\}\)となります。

例(整数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-5}=\frac{1}{x^{5}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は整数ベキ関数です。分母が\(0\)になることは許されないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意する必要があります。

繰り返しになりますが、指数が負の整数である場合のベキ関数\(f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\)は定数関数\(1\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の商ですが、これらはともに収束する関数です。一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において収束する場合には関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(\alpha\)において収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実を利用すると、指数が負の整数であるようなベキ関数が収束することが示されます。

収束する関数の商について復習する
命題(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して定める値が、正の整数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}という形で表されるものとする。この\(f\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha ^{-n}=\frac{1}{\alpha
^{n}}
\end{equation*}となる。
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例(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-5}=\frac{1}{x^{5}}
\end{equation*}であるならば、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3}\left( \frac{1}{x^{5}}\right) =\frac{1}{3^{5}}=\frac{1}{243} \\
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -1}\left( \frac{1}{x^{5}}\right) =\frac{1}{\left( -1\right) ^{5}}=-1 \\
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\left( \frac{1}{x^{5}}\right) =1/\left( \frac{1}{2}\right) ^{5}=32
\end{eqnarray*}などとなります。

 

整数ベキ関数の連続性

整数ベキ関数\(f\left( x\right) =x^{-n}\)は\(0\)とは異なる任意の点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は\(\alpha ^{-n}\)であることを先に示しました。以上を踏まえると、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha ^{-n}=f\left( \alpha
\right)
\end{equation*}が成り立つため、整数ベキ関数は\(\alpha \)において連続です。

命題(整数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して定める値が、正の整数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}という形で表されるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)上で連続である。
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例(整数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-5}=\frac{1}{x^{5}}
\end{equation*}であるならば、上の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)上で連続です。実際、任意の点\(\alpha \not=0\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \frac{1}{x^{5}}\right) =\frac{1}{\alpha ^{5}}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

整数ベキ関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、\(X=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \not=0\}\)です。また、\(g:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)を指数が負の整数\(-n\)であるようなベキ関数とします。つまり、\(g\left( x\right) =x^{-n}\)です。\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)の部分集合であるため、合成関数\(g:f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{eqnarray*}を値として定めます。ただし、\(n\)は正の整数です。

合成関数について復習する

関数\(f\)が点\(\alpha \)において収束するものとします。整数ベキ関数\(g\)は定義域\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)上で連続であるため、点\(f\left( \alpha \right) \)においても連続です。したがって、合成関数の極限に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{-n}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \not=0\)でなければなりません。

合成関数の極限について復習する
命題(整数ベキ関数との合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(X=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \not=0\}\)である。このとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を考える。ただし、\(n\)は正の整数である。\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において収束するとともに\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \not=0\)であるならば、\(g\)もまた\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{equation*}となる。
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関数\(f\)が点\(\alpha \in X\)において収束するだけでなく、連続であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) &=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{-n}\quad \because \text{上の命題} \\
&=&\left[ f\left( \alpha \right) \right] ^{-n}\quad \because f\text{の連続性} \\
&=&g\left( \alpha \right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は\(\alpha \)において連続です。ただし、\(\alpha \)が\(X\)の内点ではなく境界点である場合には、連続性の代わりに片側連続性を採用します。

命題(整数ベキ関数との合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(X=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \not=0\}\)である。このとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-n}=\frac{1}{\left[
f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を考える。\(f\)が点\(\alpha \in X\)において連続ならば、\(g\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(単項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( cx^{n}\right) ^{-m}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\{x\in \mathbb{R} \ |\ cx^{n}\not=0\}
\end{equation*}です。これは単項式関数\(cx^{n}\)と整数ベキ関数\(x^{-m}\)の合成関数です。単項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( cx^{n}\right) ^{-m}=\left( c\alpha ^{n}\right) ^{-m}=f\left( \alpha
\right)
\end{equation*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( -7x^{3}\right) ^{-5}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( -7x^{3}\right) ^{-5}=\left( -7\alpha ^{3}\right) ^{-5}=f\left(
\alpha \right)
\end{equation*}を満たします。
単項式関数について復習する
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{-m} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{-m} \\
&=&\frac{1}{\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{m}}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\not=0\right\}
\end{equation*}です。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と整数ベキ関数\(x^{-m}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{-m} \\
&=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}\alpha ^{k}\right) ^{-m} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{-5}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{-5} \\
&=&\left( 2\alpha ^{2}-\sqrt{3}\alpha +1\right) ^{-5} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
多項式関数について復習する
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{-n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\not=0\right\}
\end{equation*}です。これは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と整数ベキ関数\(x^{-n}\)の合成関数です。有理関数は定義域\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha }
\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{-n} \\
&=&\left[ \frac{g\left( \alpha \right) }{h\left( \alpha \right) }\right] ^{-n} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-7}{x-5}\right) ^{-5}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{5,\pm \sqrt{7}\}\)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \frac{2x^{2}-7}{x-5}\right) ^{-5} \\
&=&\left( \frac{2\alpha ^{2}-7}{\alpha -5}\right) ^{-5} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
有理関数について復習する

次回は無理関数について学びます。

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