整数ベキ関数

整数ベキ関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を整数ベキ関数（integer power function）と呼びます。ベキ関数は累乗関数（power function）と呼ばれることもあります。

\(z>0\)の場合、\(f\)は自然数ベキ関数となります。また、\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、\(f\)は定数関数になります。自然数ベキ関数や定数関数についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。負の整数\(z\)は自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(f\)を考察対象にするということです。ただし、ゼロで割ることは許されないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意してください。

例（整数ベキ関数）

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\frac{1}{\left( -1\right) ^{2}}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( -\frac{1}{2}\right) ^{2}}=4
\\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}=4 \\
f\left( 1\right) &=&\frac{1}{1^{2}}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例（整数ベキ関数）

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\frac{1}{\left( -1\right) ^{3}}=-1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( -\frac{1}{2}\right) ^{3}}=-8
\\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}}=8 \\
f\left( 1\right) &=&\frac{1}{1^{3}}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

整数ベキ関数の狭義単調性

整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)は次数に相当する自然数\(n\)の偶奇によって狭義単調関数であるための条件が以下のように変化します。

整数ベキ関数の値域

整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)の値域は次数に相当する自然数\(n\)の偶奇によって以下のように変化します。証明では後に導入する関数の極限と連続性の概念を利用します。

例（整数ベキ関数）

関数\(\frac{1}{x^{2}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\frac{1}{x^{2}}\)は次数が偶数であるような整数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)であり、\(\mathbb{R} _{− −}\)上で狭義単調増加であり、\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調減少です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（整数ベキ関数）

関数\(\frac{1}{x^{3}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\frac{1}{x^{3}}\)は次数が奇数であるような整数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で狭義単調減少です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

整数ベキ関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。\(f\)は値として\(0\)とは異なる実数をとる点に注意してください。また、負の整数ベキ関数を\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right) =\frac{1}{x^{n}}\)かつ\(n\in \mathbb{N} \)です。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

演習問題

次回は無理関数について学びます。