整数ベキ関数（整数指数の累乗関数）の定義と具体例

整数ベキ関数

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(z\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{z}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{z} & \left( if\ z>0\right) \\
1 & \left( if\ z=0\right) \\
\dfrac{1}{a^{-z}} & \left( if\ n<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、指数\(z\in \mathbb{Z} \)を固定した上で底\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を変数とみなすことにより、以下のような関数\begin{equation*}x^{z}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。この関数\(x^{z}\)を整数ベキ関数（integer power function）や累乗関数（power function）などと呼びます。

\(z>0\)の場合には\(z\in \mathbb{N} \)であるため、整数ベキ関数\(x^{z}\)は自然数ベキ関数となります。\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、整数ベキ関数\(z^{z}\)は定数関数\(1\)と一致します。自然数ベキ関数や定数関数についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。

\(z<0\)の場合には何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、この場合には、\begin{eqnarray*}x^{z} &=&x^{-n}\quad \because z=-n \\
&=&\frac{1}{x^{n}}\quad \because \text{累乗の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(z<0\)の場合の整数ベキ関数\(z^{z}\)は、何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に関するベキ関数\(x^{n}\)の逆数として定義される関数\begin{equation*}\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と一致するということです。

例（整数ベキ関数）

\(-2\)は負の整数であるため、\(-2\)を指数とする整数ベキ関数\begin{equation*}\frac{1}{x^{2}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)とおく場合、例えば、\begin{eqnarray*}f\left( -1\right) &=&\frac{1}{\left( -1\right) ^{2}}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( -\frac{1}{2}\right) ^{2}}=4
\\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}=4 \\
f\left( 1\right) &=&\frac{1}{1^{2}}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例（整数ベキ関数）

\(-3\)は負の整数であるため、\(-3\)を指数とする整数ベキ関数\begin{equation*}\frac{1}{x^{3}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}}\)とおく場合、例えば、\begin{eqnarray*}f\left( -1\right) &=&\frac{1}{\left( -1\right) ^{3}}=-1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( -\frac{1}{2}\right) ^{3}}=-8
\\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}}=8 \\
f\left( 1\right) &=&\frac{1}{1^{3}}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

整数ベキ関数の狭義単調性

指数が負の整数であるような整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)は\(n\)の偶奇によっては狭義単調関数になります。

整数ベキ関数の値域

指数が負の整数であるような整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)の値域は\(n\)の偶奇によって以下のように変化します。証明では後に導入する関数の極限と連続性の概念を利用します。

例（整数ベキ関数）

関数\(\frac{1}{x^{2}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\frac{1}{x^{2}}\)の分母の係数\(2\)は偶数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)であり、\(\mathbb{R} _{− −}\)上で狭義単調増加であり、\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調減少です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（整数ベキ関数）

関数\(\frac{1}{x^{3}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\frac{1}{x^{3}}\)は分母の係数\(3\)は奇数であるため値域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で狭義単調減少です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

整数ベキ関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\begin{equation*}\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域が\(\frac{1}{x^{n}}\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\frac{1}{x^{n}}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{1}{x^{n}}\circ f\right) \left( x\right) =\frac{1}{\left[
f\left( x\right) \right] ^{n}}
\end{equation*}を値として定めます。

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\begin{equation*}\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\frac{1}{x^{n}}\)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) \left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ \frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ \frac{1}{x^{n}}\right) \left( x\right) =f\left( \frac{1}{x^{n}}\right)
\end{equation*}を定めます。

演習問題