区間において連続な関数

有界な開区間上で連続な関数

有界な開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R}\)が定義域である開区間\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であるならば、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \alpha \in \left( a,b\right) :\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( x\right) \text{が存在する} \\
&&\left( b\right) \ \forall \alpha \in \left( a,b\right) :\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( x\right) =f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}をともに満たすならば、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で連続である(continuous on \(\left( a,b\right) \))と言います。

区間について復習する 点における関数の連続性について復習する

 

有界な閉区間上で連続な関数

有界な開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}\)が定義域である閉区間\(\left[ a,b\right] \)上で連続であると言うためには、まず、定義域の内部である開区間\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続である必要があります。加えて、定義域の端点\(a,b\)における連続性として片側連続性を採用します。つまり、この関数\(f\)が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において右側連続である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は点}b\text{において左側連続である} \\
&&\left( c\right) \ f\text{は開区間}\left( a,b\right) \text{において連続である}
\end{eqnarray*}という条件をすべて満たすならば、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続である(continuous on \(\left[ a,b\right] \))と言います。

点における関数の片側連続性について復習する

 

有界な半開区間上で連続な関数

有界な半開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域である半開区間\((a,b]\)上で連続であると言うためには、定義域の内部である開区間\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であることに加えて、定義域の端点\(b\)において左側連続である必要があります。つまり、この関数\(f\)が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は点}b\text{において左側連続である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は開区間}\left( a,b\right) \text{において連続である}
\end{eqnarray*}をともに満たすとき、\(f\)は\((a,b]\)上で連続である(continuous on \((a,b]\))と言います。

同様に、有界な半開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b)\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において右側連続である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は開区間}\left( a,b\right) \text{において連続である}
\end{eqnarray*}をともに満たすとき、\(f\)は\([a,b)\)上で連続である(continuous on \([a,b)\))と言います。

 

有界ではない区間上で連続な関数

無限開区間上で定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (a,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域である\((a,+\infty )\)上で連続であることとは、\(f\)が\(a\)以上の任意の点において連続であることを意味します。

無限開区間上で定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,b)\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域である\((-\infty ,b)\)上で連続であることとは、\(f\)が\(b\)以下の任意の点において連続であることを意味します。

無限閉区間上で定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域である\([a,+\infty )\)上で連続であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において右側連続である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は無限開区間}\left( a,+\infty \right) \text{において連続である}
\end{eqnarray*}をともに満たすことを意味します。

無限閉区間上で定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域である\((-\infty ,b]\)上で連続であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は点}b\text{において左側連続である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は無限開区間}\left( -\infty ,b\right) \text{において連続である}
\end{eqnarray*}をともに満たすことを意味します。

全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が連続であることとは、\(f\)が任意の実数において連続であることを意味します。

全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が連続であることとは、\(f\)が任意の実数において連続であることを意味します。

次回は関数が連続ではない点、すなわち不連続点を分類します。
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