狭義単調な連続関数の逆関数

区間上に定義された狭義単調関数には逆関数が存在して、それもまた狭義単調関数となります。特に、その関数が連続である場合には、逆関数もまた連続となります。
狭義単調関数 逆関数 連続
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区間上に定義された狭義単調関数の逆関数

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow f\left( I\right) \)が狭義単調増加関数であるならば、その逆関数\(f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow X\)が存在します。ただし、\(f\left( I\right) \)は\(f\)の値域です。このとき、逆関数\(f^{-1}\)もまた狭義単調増加関数になります。

命題(区間上に定義された狭義単調関数の逆関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow f\left( I\right) \)が狭義単調増加関数であるならば、その逆関数\(f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow X\)が存在して、\(f^{-1}\)もまた狭義単調増加関数となる。また、\(f\)が狭義単調減少関数であるならば、その逆関数\(f^{-1}\)が存在して、\(f^{-1}\)もまた狭義単調減少関数となる。
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区間上に定義された連続な狭義単調関数の逆関数

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow f\left( I\right) \)が狭義単調増加関数であるとともに、定義域\(I\)上において連続であるものとします。このとき、逆関数\(f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow X\)もまた定義域\(f\left( I\right) \)上で連続になります。ただし、区間\(I\)が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \subset \mathbb{R}\)である場合など境界点を持つ場合には、境界点における連続性としては片側連続性を採用します。

命題(区間上に定義された連続な狭義単調関数の逆関数)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow f\left( I\right) \)が連続な狭義単調増加関数であるならば、その逆関数\(f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow X\)が存在して、\(f^{-1}\)もまた連続な狭義単調増加関数となる。また、\(f\)が連続な狭義単調減少関数であるならば、その逆関数\(f^{-1}\)が存在して、\(f^{-1}\)もまた連続な狭義単調減少関数となる。
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例(単調連続関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合であり、\(f\left( \mathbb{R} _{+}\right) =\mathbb{R} _{+}\)です。\(f\)は連続な狭義単調増加関数であるため、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、\(f^{-1}\)もまた連続な狭義単調増加関数となります。\(x\geq 0\)であることを踏まえた上で\(y=x^{2}\)を\(x\)について解くと\(x=\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}\)となります。したがって、逆関数\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に対して\(f^{-1}\left( y\right) =y^{\frac{1}{2}}\)を定めます。これは確かに連続な狭義単調増加関数です。
例(単調連続関数の逆関数)
自然数\(n\in \mathbb{N}\)を任意に選んだ上で、関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)を、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{n}\)を定めるものと定義します。\(f\left( \mathbb{R} _{+}\right) =\mathbb{R} _{+}\)です。\(f\)は連続な狭義単調増加関数であるため、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、\(f^{-1}\)もまた連続な狭義単調増加関数となります。\(x\geq 0\)であることを踏まえた上で\(y=x^{n}\)を\(x\)について解くと\(x=y^{\frac{1}{n}}\)となります。したがって、逆関数\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に対して\(f^{-1}\left( y\right) =y^{\frac{1}{n}}\)を定めます。これは確かに連続な狭義単調増加関数です。

次回からは様々な初等関数について、その極限や連続性を調べます。

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