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逆関数

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逆関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)の逆像とは、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される定義域\(X\)の部分集合です。一般には、終集合\(\mathbb{R} \)の要素\(y\)を任意に選んだとき、それに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす定義域\(X\)の要素\(x\)は存在するとは限らず(この場合の\(f^{-1}\left( y\right) \)は空集合)、存在する場合には一意的であるとは限りません(この場合の\(f^{-1}\left( y\right) \)は複数の要素を持つ集合)。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が全単射である場合、終集合\(\mathbb{R} \)の要素\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす定義域の要素\(x\)が存在し、なおかつそれが一意的であることが保証されるため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \subset X\)が1点集合になることが保証されます。この場合、集合\(f^{-1}\left( y\right) \)とそこに含まれる1つの要素を同一視することにより、終集合\(\mathbb{R} \)のそれぞれの要素\(y\)に対して\(X\)の要素\(f^{-1}\left( y\right) \)を1つずつ定める関数が定義可能です。このように定義された関数を\(f\)の逆関数(inverse function)と呼び、これを\begin{equation*}f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow X
\end{equation*}で表記します。つまり、逆関数\(f^{-1}\)がそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して定める値\(f^{-1}\left( y\right) \in X\)は、\(f\)による\(y\)の逆像\(f^{-1}\left( y\right) \subset X\)に含まれる唯一の要素と一致します。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による要素\(y\in \mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「部分集合」である一方、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow X\)による要素\(y\in \mathbb{R} \)の像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「要素」です。両者を同一の記号によって表記していますが、厳密にはこれらは異なる概念です。ただ、逆関数\(f^{-1}\)について考える際には\(f\)による\(y\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は1つの要素だけを持つ集合であることが前提になっており、その1つの要素は逆写像\(f^{-1}\)による\(y\)の像\(f^{-1}\left( y\right) \)と一致するため、両者を同一視するということです。

命題(全単射が存在するための条件)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が全単射ならば、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow X\)が存在する。
証明

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例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3\right\} \rightarrow \left\{ 4,5,6\right\} \)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&4 \\
f\left( 2\right) &=&6 \\
f\left( 3\right) &=&5
\end{eqnarray*}を満たすものとします。\(f\)は全単射であるため(確認してください)逆関数\(f^{-1}:\left\{4,5,6\right\} \rightarrow \left\{ 1,2,3\right\} \)が存在し、これは、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 4\right) &=&1 \\
f^{-1}\left( 5\right) &=&3 \\
f^{-1}\left( 6\right) &=&2
\end{eqnarray*}を満たします。

例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全単射であるため(確認してください)逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するはずです。実際、\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=2x+1\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{y-1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは1点集合であるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\frac{y-1}{2}
\end{equation*}を定めます。

例(逆関数)
国産単位系の単位である「センチメートル(cm)」とヤード・ポンド法の単位である「インチ(in)」の間には、\begin{equation*}
1\text{インチ}=2.54\text{センチメートル}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、「インチ」を「センチメートル」に変換する関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2.54x
\end{equation*}を定めます。つまり、\(x\)インチは\(2.54x\)センチメートルと等しいということです。\(f\)は全単射であるため(確認してください)逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するはずです。実際、\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=2.54x\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{y}{2.54}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは1点集合であるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\frac{y}{2.54}
\end{equation*}を定めます。これは先ほどと逆に、「センチメートル」を「インチ」に変換する関数です。つまり、\(y\)センチメートルは\(\frac{y}{2.54}\)インチと等しいということです。

ちなみに、先の命題の逆もまた成立します。つまり、ある関数の逆関数が存在する場合、その関数は全単射です。したがって、ある関数が全単射であることと、その関数が逆関数を持つことは必要十分です。

命題(全単射と逆関数)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が全単射であることは、逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow X\)が存在するための必要十分条件である。

証明

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関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単射である一方で全単射ではない場合、その終集合を値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}\end{equation*}に制限して\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)とすれば全単射になるため、先の命題より、逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。

命題(全単射が存在するための条件)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単射ならば、逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する。
例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域である\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。\(f\)は単射であるため(確認してください)、\(f\)の終集合を値域\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} _{+}\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} _{+}\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} _{+}\right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}に制限して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)すなわち\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)とすればこれは全単射になります。したがって逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するはずです。実際、\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R} _{+}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y=x^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ \sqrt{y}\right\} \quad \because y\in \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}ですが、これは1点集合であるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在し、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\sqrt{y}
\end{equation*}を定めます。

先の命題より以下が導かれます。

命題(全単射と逆関数)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単射であることは、逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在するための必要十分条件である。

証明

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逆関数が存在しないケース

繰り返しになりますが、関数\(f\)が全単射であることは逆関数\(f^{-1}\)が存在するための必要十分条件です。したがって、関数\(f\)が全単射でない場合、その逆関数\(f^{-1}\)は存在しません。

例(逆関数が存在しないケース)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は単射である一方、全射ではありません。実際、終集合\(\mathbb{R} \)の要素の中でも負の実数\(y<0\)を任意に選んだとき、それに対して\(y=f\left( x\right) \)すなわち\(y=x^{2}\)を満たす定義域の値\(x\in \mathbb{R} _{+}\)は存在しないからです。したがって逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は存在しません。一方、\(f\)の終集合を値域\(f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に制限して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)とすれば全射になります。したがって逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は存在します。
例(逆関数が存在しないケース)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は単射ではありません。実際、定義域\(\mathbb{R} \)の2つの要素\(1,-1\)に注目したとき、これらは異なる一方で、\begin{equation*}f\left( 1\right) =1=f\left( -1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。このとき、終集合\(\mathbb{R} \)の要素\(1\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}となるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。一方、\(f\)の定義域を、例えば\(\mathbb{R} _{+}\)に制限して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば単射になります。それにあわせて\(f\)の終集合を値域\(f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に制限して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)とすれば全単射になるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在します。

 

逆関数の求め方

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)に対してその逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する場合には、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left(X\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}y=f\left( x\right) \Leftrightarrow x=f^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、関数\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは、逆関数\(f^{-1}\)による\(y\)の像が\(x\)であるための必要十分条件です。

命題(関数と逆関数の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)の逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する場合には、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}y=f\left( x\right) \Leftrightarrow x=f^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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与えられた関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)に対してその逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在することを示すことができた場合、\(y=f\left( x\right) \)を満たす順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)を任意に選ぶと、上の命題より、この\(\left( x,y\right) \)は同時に\(x=f^{-1}\left( y\right) \)を満たします。関数\(f\left( x\right) \)の逆関数が存在することが分かっている場合には、\(y=f\left( x\right) \)とおいた上でこれを\(x\)について解けば逆関数\(x=f^{-1}\left(y\right) \)が得られるということです。

例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全単射であるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。そこで、\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)であることを踏まえた上で、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y=\frac{1}{2}x
\end{equation*}とおき、これを\(x\)について解くと、\begin{equation*}x=2y
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =2y
\end{equation*}を得ます。これが逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が\(y\in \mathbb{R} \)に対して定める値です。

 

演習問題

問題(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3\right\} \rightarrow \left\{ 4,5,6\right\} \)は、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&4 \\
f\left( 2\right) &=&5 \\
f\left( 3\right) &=&5
\end{eqnarray*}を満たすものとします。逆関数\(f^{-1}:\left\{ 4,5,6\right\}\rightarrow \left\{ 1,2,3\right\} \)は存在するでしょうか。存在する場合には具体的に求めてください。
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問題(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+3
\end{equation*}を定めるものとします。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在するでしょうか。存在する場合には具体的に求めてください。
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問題(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}+1
\end{equation*}を定めるものとします。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在するでしょうか。存在する場合には具体的に求めてください。
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問題(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-3\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在しないことを示してください。さらに、\(f\)の定義域と終集合を適当に調整した上で、その逆関数\(f^{-1}\)を求めてください。
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次回は単調関数や狭義単調関数について学びます。

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