関数の逆関数について解説します。関数が全単射であることは、その関数の逆関数が存在するための必要十分条件です。
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逆関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、その終集合\(\mathbb{R}\)を値域\(f\left( X\right) =\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\}\)に制限した関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)を考えます。\(f\left( Y\right) \)のそれぞれの要素\(y\)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\{x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \}
\end{equation*}という\(X\)の部分集合として定義されますが、仮にそれぞれの\(y\in f\left( Y\right) \)に対して\(f^{-1}\left( y\right) \subset X\)が1点集合であるならば、\(f^{-1}\left( y\right) \)とそこに含まれる1つの要素を同一視した上で、\(f\left( Y\right) \)のそれぞれの要素\(y\)に対して\(X\)の要素\(f^{-1}\left( y\right) \)を1つずつ定める\(f\)の逆写像\(f^{-1}:f\left( Y\right) \rightarrow X\)を構成できます。この\(f^{-1}\)を\(f\)の逆関数(inverse function)と呼びます。

逆写像について復習する

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)に対してその逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在するものとします。\(y=f\left( x\right) \)を満たす順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)を任意に選ぶと、逆関数の定義より、この\(y\)に対して\(f^{-1}\)が定める像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(x\)に他ならないため、\(x=f^{-1}\left( y\right) \)が成り立ちます。逆に、\(x=f^{-1}\left( y\right) \)を満たす順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)を任意に選ぶと、やはり逆関数の定義より\(y=f\left( x\right) \)が成り立ちます。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)とその逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)に対して、\begin{equation*}
y=f\left( x\right) \Leftrightarrow x=f^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、関数\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは、逆関数\(f^{-1}\)による\(y\)の像が\(x\)であるための必要十分条件です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)に対してその逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在するものとします。\(f\left( y\right) =x\)を満たす順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)を任意に選ぶと、上の関係よりこの\(\left( x,y\right) \)は同時に\(y=f\left( x\right) \)を満たすため、\(y=f\left( x\right) \)を\(x\)について解けば\(x=f^{-1}\left( y\right) \)を特定できます。

例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。この関数の値域は、\begin{eqnarray*}
f\left( \mathbb{R} _{+}\right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\geq 0\} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\geq 0\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}です。値域の要素\(y\in f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)すなわち\(y\geq 0\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\geq 0\ |\ y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\geq 0\ |\ y=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \sqrt{y}\right\}
\end{eqnarray*}となり、これは1点集合であるため、逆関数\(f^{-1}:f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を構成できます。ただし、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\geq 0\)に対して\(f^{-1}\left( y\right) =\sqrt{y}\)を値として定める関数です。
例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を定めるものとします。この関数の値域は、\begin{eqnarray*}
f\left( \mathbb{R} \right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}です。例えば、値域の要素である\(1\in f\left( \mathbb{R} \right) \)に対しては、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\}
\end{eqnarray*}となり、これは1点集合ではないため、逆関数\(f^{-1}:f\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R}\)は存在しません。

 

逆関数の存在条件

一般に、写像が全単射であることは、その写像が逆写像を持つための必要十分条件です。したがって、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)が全単射であるならば、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x\not=x\ \Rightarrow \ f\left( x\right) \not=f\left( x^{\prime }\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in f\left( X\right) ,\ \exists x\in X:y=f\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つならば、その逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在します。

全単射について復習する

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)が全単射であるとします。終集合\(f\left( X\right) \)の要素\(y\)を任意にとると、\(\left( b\right) \)より、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす\(X\)の要素\(x\)が必ず存在します。ここで、\(x\)とは異なる\(X\)の要素\(x^{\prime }\)についても\(y=f\left( x^{\prime }\right) \)が成り立つものと仮定しましょう。このとき\(f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) \)となるため、\(\left( a\right) \)より\(x=x^{\prime }\)となり矛盾です。したがって\(y=f\left( x\right) \)を満たす\(x\)は一意的です。以上を踏まえると、関数\(f\)が全単射であることは、それぞれの\(y\in f\left( X\right) \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす一意的な\(x\in X\)が存在することを意味します。そしてこの場合には、逆関数\(f^{-1}\)が存在するということです。

命題(逆関数の存在条件)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)が全単射であること、すなわち、それぞれの\(y\in f\left( X\right) \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす一意的な\(x\in X\)が存在することは、逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在するための必要十分条件である。
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例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を定めるものとします。この関数\(f\)は逆関数\(f^{-1}\)を持つこと先に示しました。実際、任意の\(y\in f\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に対して、\(y=x^{2}\)を満たす\(x\)としては\(\sqrt{y}\geq 0\)だけが常に存在するため、この\(f\)は全単射です。この結果は上の命題と整合的です。
例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow f\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を定めるものとします。\(f\left( \mathbb{R} \right) =\mathbb{R} _{+}\)です。この関数\(f\)は逆関数\(f^{-1}\)を持たないことを先に示しました。実際、\(1\in f\left( \mathbb{R} \right) \)に対しては、\(1=x^{2}\)を満たす\(x\)として\(1\)と\(-1\)の2つが存在するため、この\(f\)は全単射ではありません。この結果は上の命題と整合的です。
例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \{1,2,3\}\rightarrow \{4,5,6\}\)が、\begin{equation}
f\left( 1\right) =4,\ f\left( 2\right) =6,\ f\left( 3\right) =5 \tag{1}
\end{equation}を満たすものとします。\(f\left( \{1,2,3\}\right) =\{4,5,6\}\)です。\(\left( 1\right) \)より、それぞれの\(y\in \{4,5,6\}\)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす\(x\in \{1,2,3\}\)が一意的に定まるため、逆関数\(f^{-1}:\{4,5,6\}\rightarrow \{1,2,3\}\)が存在し、これは、\begin{equation*}
f^{-1}\left( 4\right) =1,\ f^{-1}\left( 5\right) =3,\ f^{-1}\left( 6\right) =2
\end{equation*}を満たします。
例(逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \{1,2,3\}\rightarrow \{4,5,6\}\)が、\begin{equation}
f\left( 1\right) =4,\ f\left( 2\right) =5,\ f\left( 3\right) =5 \tag{1}
\end{equation}を満たすものとします。\(f\left( \{1,2,3\}\right) =\{4,5\}\)です。\(\left( 1\right) \)より、\(5\in \{4,5\}\)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす\(\{1,2,3\}\)の要素\(x\)として\(2\)と\(3\)の2つが存在するため、この\(f\)は全単射ではなく、したがって逆関数\(f^{-1}\)は存在しません。

次回は狭義単調関数について学びます。

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