逆関数

逆関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、その終集合\(\mathbb{R}\)を値域\(f\left( X\right) =\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\}\)に制限した関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)を考えます。\(f\left( Y\right) \)のそれぞれの要素\(y\)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\{x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \}
\end{equation*}という\(X\)の部分集合として定義されますが、仮にそれぞれの\(y\in f\left( Y\right) \)に対して\(f^{-1}\left( y\right) \subset X\)が1点集合であるならば、\(f^{-1}\left( y\right) \)とそこに含まれる1つの要素を同一視した上で、\(f\left( Y\right) \)のそれぞれの要素\(y\)に対して\(X\)の要素\(f^{-1}\left( y\right) \)を1つずつ定める\(f\)の逆写像\(f^{-1}:f\left( Y\right) \rightarrow X\)を構成できます。この\(f^{-1}\)を\(f\)の逆関数（inverse function）と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)に対してその逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在するものとします。\(y=f\left( x\right) \)を満たす順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)を任意に選ぶと、逆関数の定義より、この\(y\)に対して\(f^{-1}\)が定める像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(x\)に他ならないため、\(x=f^{-1}\left( y\right) \)が成り立ちます。逆に、\(x=f^{-1}\left( y\right) \)を満たす順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)を任意に選ぶと、やはり逆関数の定義より\(y=f\left( x\right) \)が成り立ちます。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)とその逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)に対して、\begin{equation*}
y=f\left( x\right) \Leftrightarrow x=f^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、関数\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは、逆関数\(f^{-1}\)による\(y\)の像が\(x\)であるための必要十分条件です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)に対してその逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在するものとします。\(f\left( y\right) =x\)を満たす順序対\(\left( x,y\right) \in X\times f\left( X\right) \)を任意に選ぶと、上の関係よりこの\(\left( x,y\right) \)は同時に\(y=f\left( x\right) \)を満たすため、\(y=f\left( x\right) \)を\(x\)について解けば\(x=f^{-1}\left( y\right) \)を特定できます。

逆関数の存在条件

一般に、写像が全単射であることは、その写像が逆写像を持つための必要十分条件です。したがって、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)が全単射であるならば、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x\not=x\ \Rightarrow \ f\left( x\right) \not=f\left( x^{\prime }\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in f\left( X\right) ,\ \exists x\in X:y=f\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つならば、その逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)が全単射であるとします。終集合\(f\left( X\right) \)の要素\(y\)を任意にとると、\(\left( b\right) \)より、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす\(X\)の要素\(x\)が必ず存在します。ここで、\(x\)とは異なる\(X\)の要素\(x^{\prime }\)についても\(y=f\left( x^{\prime }\right) \)が成り立つものと仮定しましょう。このとき\(f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) \)となるため、\(\left( a\right) \)より\(x=x^{\prime }\)となり矛盾です。したがって\(y=f\left( x\right) \)を満たす\(x\)は一意的です。以上を踏まえると、関数\(f\)が全単射であることは、それぞれの\(y\in f\left( X\right) \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす一意的な\(x\in X\)が存在することを意味します。そしてこの場合には、逆関数\(f^{-1}\)が存在するということです。

次回は狭義単調関数について学びます。