合成関数の極限

合成関数が収束するための条件について解説します。

合成関数

合成関数の極限

2 つの関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R}\)から合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つということです。関数\(f\)は点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において点\(\beta \in \mathbb{R}\)に収束するとともに、この極限\(\beta \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)の要素であり、なおかつ\(g\)は\(\beta \)において連続であるものとします。このとき、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束することを以下で示します。

まず、関数\(g\)が点\(\beta \)において連続であることから、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、\begin{equation}
\exists \delta >0,\ \forall y\in Y:\left( \left\vert y-\beta \right\vert <\delta \ \Rightarrow \ \left\vert g\left( y\right) -g\left( \beta \right) \right\vert <\varepsilon \right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。関数\(f\)は点\(\alpha \)において点\(\beta \)へ収束するため、上の\(\delta >0\)に対して、\begin{equation}
\exists \delta ^{\prime }>0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert x-\alpha \right\vert <\delta ^{\prime }\ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\delta \right) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して上の\(\delta ^{\prime }>0\)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
0<\left\vert x-\alpha \right\vert <\delta ^{\prime } &\Rightarrow &\ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&\Rightarrow &\ \left\vert g\left( f\left( x\right) \right) -g\left( \beta \right) \right\vert <\varepsilon \quad \because f\left( x\right) \in Y,\ \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(g\left( \beta \right) \)すなわち\(g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \)へ収束することを意味します。

命題(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R}\)から合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能であるものとする。関数\(f\)は点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束し、関数\(g\)は点\(g\)は点\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \in \mathbb{R}\)において連続であるならば、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となる。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)で、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(g\left( x\right) =x+2\)でそれぞれ与えられているとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの要素\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値は、\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) (x)=g\left( f\left( x\right) \right) =x^{2}+2
\end{equation*}です。関数\(f\)は点\(3\in \mathbb{R}\)において収束し、そこでの極限は\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 3}x^{2}=9
\end{equation*}です。関数\(g\)は関数\(f\)の極限である点\(\lim\limits_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) =9\)において定義されているとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 9}g\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 9}\left( x+2\right) =11=g\left( 9\right)
\end{equation*}が成り立つため\(g\)は点\(9\)において連続です。したがって、先の命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(3\)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( \lim\limits_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) \right) \\
&=&g\left( 9\right) \\
&=&11
\end{eqnarray*}となります。

 

合成点が不連続点である場合

先の命題では、合成関数\(g\circ f\)が点\(\alpha \)において収束するための条件として、関数\(f\)が点\(\alpha \)において収束するとともに、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)において連続であることを要求しました。では、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)において不連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)は点\(\alpha \)において常に収束しないとまで言ってよいのでしょうか。実は、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)において連続でない場合でも、合成関数\(g\circ f\)が点\(\alpha \)において収束するケースは存在します。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =1-x^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x>1\right) \\
x & \left( if\ x=1\right) \\
x-1 & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が点\(0\in \mathbb{R}\)において収束するでしょうか。関数\(f\)は点\(0\)において明らかに収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1-x^{2}\right) =1
\end{equation*}となります。一方、関数\(g\)はこの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1\)において連続ではありません。実際、関数\(g\)の点\(1\)における左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1+}g\left( x\right) &=&4 \\
\lim_{x\rightarrow 1-}g\left( x\right) &=&-2
\end{eqnarray*}ですが、両者は一致しないため関数\(g\)は点\(1\)において収束せず、したがって点\(1\)において連続ではありません。したがって、この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たさないため、命題を利用できません。ただし、\(x\rightarrow 0\)の場合には、関数\(f\left( x\right) =1-x^{2}\)は常に\(1\)よりも小さい値をとりながら\(1\)へ限りなく近づくため、合成関数\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \)の\(x\rightarrow 0\)における極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow 1-}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because x\rightarrow 0\Rightarrow f\left( x\right) \rightarrow 1- \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow 1-}f\left( x\right) -1\quad \because g\text{の定義} \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

次回は合成可能性の連続性について解説します。

次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Facebook
Share on twitter
Twitter
Share on email
Email

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

現在地
目次
アカウント
ログイン