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合成関数の極限

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合成関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。

点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだとき、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するか検討可能です。仮に\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、そこでの極限に相当する有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)が存在します。加えて、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるかどうか検討可能です。仮に\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続である場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、そこでの極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}と定まります。

命題(合成関数の極限)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束するとともに、\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続である場合には、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}と定まる。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する関数\(f\)と、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるような関数\(g\)の合成関数であるような関数\(g\circ f\)が与えられたとき、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(g\)の変数に\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)を代入すれば\(x\rightarrow a\)のときの\(g\circ f\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、\(f\)が有限な実数へ収束することと、さらにその極限において\(g\)が連続であることを確認すればよいということになります。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていますが、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と、それぞれの\(x\in \mathbb{R} /\left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\frac{1}{x+1}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} /\left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =h\left( g\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \)において\(h\)が連続であるならば、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、関数\(g\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x^{2}\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow a}x\right) ^{2}\quad \because \text{収束する関数の積} \\
&=&a^{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =a^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、関数\(h\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) }h\left(
x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a^{2}}\frac{1}{x+1}\quad \because \left(
1\right) \text{および}h\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a^{2}}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
a^{2}}\left( x+1\right) }\quad \because \text{収束する関数の商} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a^{2}}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
a^{2}}x+\lim\limits_{x\rightarrow a^{2}}1}\quad \quad \because \text{収束する関数の和} \\
&=&\frac{1}{a^{2}+1} \\
&=&h\left( a^{2}\right) \quad \because h\text{の定義} \\
&=&h\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \right) \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(h\)は点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \)において連続です。したがって先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&h\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) +1}\quad \because h\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{a^{2}+1}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

合成点が不連続点である場合の合成関数の極限

先の命題において、合成関数\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(g\left(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)へ収束するための条件として、関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)に収束するとともに、関数\(g\)がその点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \)において連続であることを要求しました。では、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において不連続である場合、合成関数\(g\circ f\)の\(x\rightarrow a\)のときの極限について何らかのことは言えるのでしょうか。関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \)において不連続であるとともに、合成関数\(g\circ f\)の\(x\rightarrow a\)のときの極限が\(g\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \right) \)とは一致しない例を提示します。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \\
&=&0\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。さて、関数\(f\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}x=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ一方で、関数\(g\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) }g\left(
x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&0\quad \because g\text{の定義} \\
&\not=&1 \\
&=&g\left( 0\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&g\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、関数\(g\)は点\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \)において不連続です。加えて、\begin{eqnarray*}g\left( \lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) &=&g\left(
0\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&1\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) \not=g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}であることが示されました。

以上の例を踏まえると、先の命題において、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるという条件を外すことはできません。では、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において不連続である場合、合成関数\(g\circ f\)は常に\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束しないとまで言えるのでしょうか。この主張は誤りです。実際、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において不連続である一方、合成関数\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する状況は起こり得ます。以下の例から明らかです。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1-x^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x>1\right) \\
x & \left( if\ x=1\right) \\
x-1 & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。関数\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1-x^{2}\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}1-\lim_{x\rightarrow 0}x^{2} \\
&=&1-0^{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、関数\(g\)はこの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1\)において連続ではありません。実際、関数\(g\)の点\(1\)における左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}g\left( x\right) &=&4 \\
\lim_{x\rightarrow 1-}g\left( x\right) &=&-2
\end{eqnarray*}ですが、両者は一致しないため関数\(g\)は点\(1\)において収束せず、したがって点\(1\)において連続ではありません。一方、\(x\rightarrow 0\)の場合には、\(f\left( x\right) =1-x^{2}\)は常に\(1\)よりも小さい値をとりながら\(1\)へ限りなく近づくため、合成関数\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left(x\right) \right) \)の\(x\rightarrow 0\)における極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because
g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow 1-}g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because x\rightarrow 0\Rightarrow f\left( x\right) \rightarrow 1- \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow 1-}f\left( x\right) -1\quad \because g\text{の定義} \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(g\circ f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束することが明らかになりました。

 

演習問題

問題(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( 5x^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するか検証してください。
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問題(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するか検証してください。
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問題(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{4x+3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow -\frac{1}{2}\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するか検証してください。
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問題(合成関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に\(f\left( X\right)\subset Y\)という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)は有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)へ右側から収束するとともに、関数\(g\)がその点\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)において定義されており、なおかつ\(g\)がそこで右側連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ右側から収束し、そこでの右側極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を満たすことを証明してください。
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次回は合成可能性の連続性について解説します。

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