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合成関数の極限

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合成関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対して、\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}を値として定める合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。その上で、関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)へ収束するとともに、関数\(g\)がその点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において定義されているとともにそこで連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において収束することが保証され、そこでの極限が、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}として定まります。証明は以下の通りです。

関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)において連続であることとは、\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in Y \quad\cdots (1)
\end{equation}であるとともに、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall y\in Y:\left(
\left\vert y-\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
<\delta \Rightarrow \left\vert g\left( y\right) -g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \right\vert
<\varepsilon \right) \quad\cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味します。関数\(f\)は点\(a\)において\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束するため、上の\(\delta >0\)に対して、\begin{equation}
\exists \delta ^{\prime }>0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta ^{\prime }\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert <\delta \right)
\quad\cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して上の\(\delta ^{\prime }>0\)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta ^{\prime } &\Rightarrow &\left\vert
f\left( x\right) -\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
<\delta \quad \because \left( 3\right) \\
&\Rightarrow &\left\vert g\left( f\left( x\right) \right) -g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \right\vert
<\varepsilon \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&\Leftrightarrow &\left\vert \left( g\circ f\right) \left( x\right) -g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \right\vert
<\varepsilon \quad \because g\circ f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}であることが示されました。

命題(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。つまり、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるものとする。関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)へ収束するとともに、関数\(g\)がその点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において定義されているとともにそこで連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において収束し、そこでの極限が、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となる。
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つまり、点\(a\)において収束する関数\(f\)と、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるような関数\(g\)の合成関数であるような関数\(g\circ f\)が与えられたとき、\(g\circ f\)もまた\(a\)において収束することが保証されるとともに、\(g\)の変数に\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)を代入すれば、\(a\)における\(g\circ f\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、2つの関数\(f,g\)の合成関数の形をしている関数\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、\(f\)が収束することと、さらにその極限において\(g\)が連続であることを確認すればよいということになります。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において収束するか否かを検討する状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&x^{2} \\
h\left( x\right) &=&\frac{1}{x+1}
\end{eqnarray*}を定める関数\(h:\mathbb{R} /\left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =h\left( g\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g\)が点\(a\)において収束するとともに、その極限に相当する点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \)において\(h\)が連続であるならば、先の命題より、\(f\)もまた点\(a\)において収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、関数\(g\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =a^{2}\in
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つとともに、関数\(h\)はこの点\(a^{2}\)において定義されているとともに連続であるため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた点\(a\)において収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&h\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) +1} \\
&=&\frac{1}{a^{2}+1}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

合成点が不連続点である場合の合成関数の極限

先の命題では、合成関数\(g\circ f\)が点\(a\)において有限な実数\(g\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)へ収束するための条件として、関数\(f\)が点\(a\)において有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)に収束するとともに、関数\(g\)がその点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であることを要求しました。では、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において不連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)の点\(a\)における極限について何らかのことは言えるのでしょうか。まず、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において不連続であるとともに、合成関数\(g\circ f\)の点\(a\)における極限が\(g\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)とは一致しない例を提示します。したがって、先の命題において、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるという条件を外すことはできません。

例(合成関数の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&0 \\
g\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとしてそれぞれ定義されているものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\\
&=&g\left( 0\right) \because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。したがって、点\(0\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。他方で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) =1\not=0=g\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(g\)は点\(0\)において不連続です。さらに、\begin{equation*}
g\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) =g\left(
1\right) =1
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) \not=g\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

繰り返しになりますが、合成関数\(g\circ f\)が点\(a\)において有限な実数へ収束するための条件として、関数\(f\)が点\(a\)において有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)に収束するとともに、関数\(g\)がその点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であることを要求しました。では、関数\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において不連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)は点\(a\)において収束しないとまで言い切ることができるのでしょうか。この主張は誤りです。実際、関数\(g\)は点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において不連続である一方、合成関数\(g\circ f\)は点\(a\)において有限な実数へ収束する状況は起こり得ます。以下の例から明らかです。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =1-x^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x>1\right) \\
x & \left( if\ x=1\right) \\
x-1 & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は点\(0\)において収束するでしょうか。関数\(f\)は点\(0\)において明らかに収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1-x^{2}\right) =1
\end{equation*}となります。一方、関数\(g\)はこの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1\)において連続ではありません。実際、関数\(g\)の点\(1\)における左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1+}g\left( x\right) &=&4 \\
\lim_{x\rightarrow 1-}g\left( x\right) &=&-2
\end{eqnarray*}ですが、両者は一致しないため関数\(g\)は点\(1\)において収束せず、したがって点\(1\)において連続ではありません。つまり、この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たさないため、先の命題を利用できません。ただし、\(x\rightarrow 0\)の場合には、\(f\left( x\right) =1-x^{2}\)は常に\(1\)よりも小さい値をとりながら\(1\)へ限りなく近づくため、合成関数\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \)の\(x\rightarrow 0\)における極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because
g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow 1-}g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because x\rightarrow 0\Rightarrow f\left( x\right) \rightarrow 1- \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow 1-}f\left( x\right) -1\quad \because g\text{の定義} \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(g\circ f\)は点\(0\)において有限な実数へ収束することが明らかになりました。

次回は合成可能性の連続性について解説します。

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