WIIS

教材一覧
教材一覧
教材検索
FUNCTION

合成関数の極限

目次

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

合成関数の点における極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}です。さらに、関数\(g\)は点\(b\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow b\)のときに有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(x\rightarrow b\)のときの\(g\)の極限が\(x=b\)の場合の\(g\left( x\right) \)の値である\(g\left( b\right) \)と一致するということです(このとき、関数\(g\)は点\(b\)において連続である(continuous)と言います)。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(合成関数の点における極限)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに\(g\left( b\right) \)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束する関数\(f\)と点\(b\)において連続な関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left(b\right) \)と一致することを上の命題は保証しています。したがって、2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、関数の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。

例(合成関数の点における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x-1\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数である\(2x-1\)と\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(2x-1\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x-1\right) =2a-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(x^{3}\)は点\(2a-1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 2a-1}x^{3}=\left( 2a-1\right) ^{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{3}\)は点\(2a-1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
2x-1\right) ^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 2a-1\right) ^{3}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関数の点における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と有理関数\(\frac{1}{x}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(x^{2}+1\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) =a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a^{2}+1\not=0\)であるため、関数\(\frac{1}{x}\)は点\(a^{2}+1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{2}+1}\left( \frac{1}{x}\right) =\frac{1}{a^{2}+1}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\frac{1}{x}\)は点\(a^{2}+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{a^{2}+1}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関数の点における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 2x-1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(2x-1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(2x-1\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x-1\right) =2a-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(2a-1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 2a-1}\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
2a-1 & \left( if\ a>\frac{1}{2}\right) \\
0 & \left( if\ a=\frac{1}{2}\right) \\
-2a+1 & \left( if\ a<\frac{1}{2}\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(2a-1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
2x-1\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
2a-1 & \left( if\ a>\frac{1}{2}\right) \\
0 & \left( if\ a=\frac{1}{2}\right) \\
-2a+1 & \left( if\ a<\frac{1}{2}\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

合成関数の極限における連続性の条件の役割

繰り返しになりますが、関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束するとともに、関数\(g\)がその点\(b\)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left(b\right) \)と一致します。この命題において「関数\(g\)が点\(b\)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。まず、関数\(g\)が点\(b\)において定義されているものの、\(x\rightarrow b\)のときの極限が\(g\left( b\right) \)とは一致しない場合、\(g\)は点\(b\)において連続ではありませんが、このような場合、\(x\rightarrow a\)のときの\(g\circ f\)の極限は\(g\left( b\right) \)と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \\
&=&0\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。関数\(g\)はこの点\(0\)において定義されている一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&0\quad \because g\text{の定義} \\
&\not=&1 \\
&=&g\left( 0\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \not=g\left( 0\right)
\end{equation*}となります(関数\(g\)は点\(0\)において連続ではない)。加えて、\begin{equation*}g\left( 0\right) =1
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) \not=g\left(
0\right)
\end{equation*}となることが明らかになりました。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束する場合、合成関数\(g\circ f\)の\(x\rightarrow a\)のときの極限が\(g\left( b\right) \)と一致することを保証するためには、関数\(g\)が\(x\rightarrow b\)のときに\(g\left( b\right) \)へ収束する必要があることが明らかになりました。では、そもそも関数\(g\)が\(x\rightarrow b\)のときに有限な実数へ収束しない場合、合成関数\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束しないとまで言えるのでしょうか。この主張は誤りです。以下の例より明らかです。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1-x^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x>1\right) \\
x & \left( if\ x=1\right) \\
x-1 & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1-x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}1-\left( \lim_{x\rightarrow 0}x\right) ^{2}\quad
\because \text{多項式関数の極限} \\
&=&1-0^{2}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、関数\(g\)は\(x\rightarrow 1\)のときに有限な実数へ収束しません。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}g\left( x\right) &=&2 \\
\lim_{x\rightarrow 1-}g\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり両者は異なるからです。ただ、このような場合でも合成関数\(g\circ f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束します。実際、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は\(1\)よりも小さい値をとりながら\(1\)へ限りなく近づくため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because
g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow 1-}g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because x\rightarrow 0\Rightarrow f\left( x\right) \rightarrow 1- \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow 1-}f\left( x\right) -1\quad \because g\text{の定義} \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

合成関数の無限大における極限

先の命題は合成関数が点において有限な実数へ収束するための条件を与えてくれましたが、合成関数が無限大において収束するための条件も同様です。具体的には、関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}です。さらに、関数\(g\)は点\(b\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow b\)のときに有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(x\rightarrow b\)のときの\(g\)の極限が、\(x=b\)の場合の\(g\left( x\right) \)の値である\(g\left( b\right) \)と一致するということです。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(合成関数の正の無限大における極限)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに\(g\left( b\right) \)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

負の無限大における極限についても同様です。

命題(合成関数の負の無限大における極限)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに\(g\left( b\right) \)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(合成関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2x}\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{1}{2x}\)と多項式関数\(x^{5}\)の合成関数であることに注意してください。関数\(\frac{1}{2x}\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2x}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(x^{5}\)は点\(0\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}x^{5}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \frac{1}{2x}\right) ^{5}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert \frac{2x-1}{x^{2}}\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x-1}{x^{2}}\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。関数\(\frac{2x-1}{x^{2}}\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{2x-1}{x^{2}}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(0\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left\vert x\right\vert =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left\vert \frac{2x-1}{x^{2}}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

合成関数と無限極限

合成関数\(g\circ f\)を構成する2つの関数\(f,g\)がともに点もしくは無限大において有限な実数へ収束する場合における合成関数\(g\circ f\)の極限について考察してきましたが、\(f,g\)の少なくとも一方が有限な実数へ収束しない場合、合成関数\(g\circ f\)の極限に関して何らかのことを言えるでしょうか。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束する一方で関数\(g\)が\(x\rightarrow b\)のときに無限大へ発散する場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに無限大へ発散します。

命題(合成関数と無限極限)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のとき正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに無限大へ発散する一方で関数\(g\)が無限大において有限な実数\(b\)へ収束する場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束します。

命題(合成関数と無限極限)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow \infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関数\(f\)が無限大において有限な実数\(b\)へ収束する一方で関数\(g\)が\(x\rightarrow b\)のときに無限大へ発散する場合、合成関数\(g\circ f\)は無限大において無限大へ発散します。

命題(合成関数と無限極限)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関数\(f\)が無限大において無限大へ発散する一方で関数\(g\)が無限大において有限な実数\(b\)へ収束する場合、合成関数\(g\circ f\)は無限大において\(b\)へ収束します。

命題(合成関数と無限極限)
関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散し、\(g\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散し、\(g\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散し、\(g\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散し、\(g\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は関数の極限と順序の関係および関数に関するはさみうちの定理などについて解説します。

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

合成関数
合成関数

関数 f の値域が関数 g の定義域の部分集合である場合には、f の定義域のそれぞれの値 x に対して g(f(x)) を定めるような関数が定義可能であり、これを f と g の合成写像と呼びます。

合成写像
合成写像

集合 A から集合 B への写像 f:A→B と、集合 B から集合 C への写像 g:B→C が与えられたとき、A のそれぞれの要素 a に対して C の要素である g(f(a)) を像として定める写像を作ることができるため、これを f と g の合成写像と呼びます。

合成関数
合成関数の微分

微分可能な関数を合成して得られる関数もまた微分可能です。合成関数の微分公式と、合成関数を微分する際に役立つ連鎖公式について解説します。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関数