合成関数の点における極限
2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(f\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つということです。この場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を像として定めます。
関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、その極限がもう一方の関数\(g\)の定義域\(Y\)上の点であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in Y
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、関数\(g\)は\(x\rightarrow b\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、その極限が\(g\left( b\right) \)と一致するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つということです（このとき、関数\(g\)は点\(b\)において連続である（continuous）と言います）。
以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となることが保証されます。
つまり、\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数\(b\)へ収束する関数\(f\)と点\(b\)において連続な関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left(b\right) =g\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)と一致することを上の命題は保証しています。したがって、2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、関数の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数である\(2x-1\)と\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(a\)は\(\mathbb{R} \)の集積点であるとともに、多項式関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x-1\right) =2a-1
\end{equation*}が成り立ちます。関数\(x^{3}\)は点\(2a-1\)において定義されているとともに、多項式関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2a-1}x^{3}=\left( 2a-1\right) ^{3}
\end{equation*}が成り立ちます（関数\(x^{3}\)は点\(2a-1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
2x-1\right) ^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 2a-1\right) ^{3}\quad \because \text{合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
先の命題が要求する条件の吟味
合成関数\(g\circ f\)の極限に関する先の命題では2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{eqnarray*}を要求しています。条件\(\left( a\right) \)は、関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、その極限\(b\)がもう一方の関数\(g\)の定義域上の点であることを要求しています。条件\(\left( b\right) \)は関数\(g\)が\(x\rightarrow b\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、その極限が\(g\left(b\right) \)と一致する（関数\(g\)は点\(b\)において連続）ことを要求しています。
条件\(\left( b\right) \)において、関数\(g\)の極限が\(g\left( b\right) \)と一致するという条件は必須なのでしょうか。関数\(g\)が\(x\rightarrow b\)の場合に有限な実数へ収束する一方で、その極限が\(g\left( b\right) \)とは一致しない場合においても（関数\(g\)は点\(b\)において連続ではない）、合成関数\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する事態は起こり得ますが、その場合、合成関数\(g\circ f\)の極限は\(g\left( b\right) \)と一致するとは限りません。したがって、合成関数\(g\circ f\)の極限が\(g\left(b\right) \)と一致することを保証するためには、関数\(g\)の極限は\(g\left( b\right) \)と一致する条件を外すことはできません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致します。以上を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。関数\(f,g\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(0\)について、関数\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&g\left( 0\right) \quad \because g\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(0\)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad \because g\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
g\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) &=&g\left( 0\right)
\quad \because \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) \not=g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。
先の命題は合成関数\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するための条件を明らかにしています。では、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束しない場合や、\(x\rightarrow b\ \left(=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)の場合に\(g\)が有限な実数へ収束しない場合などには、合成関数\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しないとまで言えるのでしょうか。この主張は誤りです。
まずは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しないにも関わらず、合成関数\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する例を挙げます。
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x>0\right) \\
1 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&0\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は定数関数\(0\)と一致します。その一方で、関数\(f,g\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しません。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad \because g\circ f=0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。ちなみに、\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) \left( 0\right) =0\quad \because g\circ f=0
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left( g\circ
f\right) \left( 0\right)
\end{equation*}もまた成立しています。
続いて、関数\(g\)が\(x\rightarrow b\ \left( =\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)の場合に有限な実数へ収束しないにも関わらず、合成関数\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する例を挙げます。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x>1\right) \\
x & \left( if\ x=1\right) \\
x-1 & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f,g\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1-x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}1-\left( \lim_{x\rightarrow 0}x\right) ^{2}\quad
\because \text{多項式関数の極限} \\
&=&1-0^{2}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(1\)について、関数\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}g\left( x\right) &=&2 \\
\lim_{x\rightarrow 1-}g\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(g\)は\(x\rightarrow 1\)の場合に有限な実数へ収束しないからです。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( f\left( x\right) \right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}g\left( y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}\left( y-1\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
合成関数の無限大における極限
合成関数の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{1}{2x}\)と多項式関数\(x^{5}\)の合成関数であることに注意してください。関数\(\frac{1}{2x}\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2x}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。関数\(x^{5}\)は点\(0\)において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}x^{5} &=&0 \\
&=&0^{5}
\end{eqnarray*}が成り立ちます（関数\(x^{5}\)は点\(0\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \frac{1}{2x}\right) ^{5}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)に関する極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)に関する極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を特定してください。
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