収束関数と収束列の関係

実数の点集合上に定義された実数値関数が点において収束することや、無限大や無限小において収束することなどはいずれも、収束する数列を用いて表現することもできます。

収束関数 収束数列

収束関数と収束列の関係

収束関数の概念は収束列を用いて表現することもできます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=\alpha \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=\alpha
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選びます。つまり、\(\alpha \)以外の\(X\)の点を項とし、\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選ぶということです。このような数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、その任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であることから\(f\)による\(x_{n}\)の像\(f\left( x_{n}\right) \)が定まるため、これを第\(n\)項とする新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)を構成できます。

上の条件を満たすどのような収束列\(\{x_{n}\}\)に対しても、そこから上のように構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(\beta \)へ収束することは、すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、関数\(f\)について\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件です。

命題(収束関数と収束列)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(\alpha \)とは異なる\(X\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件である。
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正の無限大における収束関数と収束列の関係

正の無限大における収束関数の概念は発散列を用いて表現することもできます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選びます。つまり、\(X\)の点を項とし、正の無限大へ発散する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選ぶということです。このような数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、その任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であることから\(f\)による\(x_{n}\)の像\(f\left( x_{n}\right) \)が定まるため、これを第\(n\)項とする新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)を構成できます。

上の条件を満たすどのような収束列\(\{x_{n}\}\)に対しても、そこから上のように構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(\beta \in \mathbb{R}\)へ収束することは、すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、関数\(f\)について\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件です。

命題(正の無限大における収束関数と収束列)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\beta \in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(X\)の点をとりながら正の無限大へ発散する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件である。
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負の無限大における収束関数と収束列の関係

負の無限大における収束関数の概念もまた発散列を用いて表現することもできます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=-\infty
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選びます。つまり、\(X\)の点を項とし、無限小へ発散する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選ぶということです。このような数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、その任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であることから\(f\)による\(x_{n}\)の像\(f\left( x_{n}\right) \)が定まるため、これを第\(n\)項とする新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)を構成できます。

上の条件を満たすどのような収束列\(\{x_{n}\}\)に対しても、そこから上のように構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(\beta \in \mathbb{R}\)へ収束することは、すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、関数\(f\)について\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件になります。

命題(負の無限大における収束関数と収束列)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\beta \in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(X\)の点をとりながら負の無限大へ発散する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件である。
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関数が点において有限な実数に収束することは、ユークリッド距離を用いて表現することもできます。次回はそのことを解説します。
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