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関数の極限

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関数の極限の直感的な定義

実数空間\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を議論の対象とします。このような写像を実変数の実数値関数(real-valued function of a real variable)や1変数の実数値関数(real-valued function of single real variable)などと呼びますが、以降ではシンプルに関数(function)と呼ぶこととします。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。このとき、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)に限りなく近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
b
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

関数の収束に関して厳密な議論を行うためには、数列の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。その前に、関数の収束について考える際に留意すべき点をいくつか指摘します。

 

変数が限りなく近づく点の扱い

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in \mathbb{R} \)における極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)について考える際には、\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも\(a\)において定義されている必要はありません。言い換えると、点\(a\)の周辺にある任意の点が\(f\)の定義域\(X\)に含まれてさえいれば、\(a\)が\(X \)に含まれていない場合にも\(f\)の\(a\)における収束可能性を検討することはできます。なぜなら、\(f\)の\(a\)における極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)について考える際には、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の値に挙動に興味があるのであって、\(x\)が\(a\)に一致するときの\(f\left( x\right) \)の値である\(f\left( a\right) \)に興味があるわけではないからです。つまり、\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と\(f\left( a\right) \)は明確に区別する必要があります。

図:関数の極限
図:関数の極限

関数が収束する場合のパターンとしてどのようなケースが起こり得るか、図を使いながら確認します。上図において関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとともに、そこで\(f\left( a\right) =b\)という関係が成立しています。さらに、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことも視覚的に確認できます。したがってこれは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b=f(a)
\end{equation*}という関係が成立するケースです。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と、\(x\)が\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値\(f\left( a\right) \)が一致する例です。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(a\)において定義されていますが、そこでは\(f\left( a\right) \not=b\)という関係が成立しています。同時に、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを視覚的に確認できます。したがってこれは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\not=f(a)
\end{equation*}という関係が成立するケースです。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているものの、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と、\(x\)が\(a\)と一致するときの値\(f\left( a\right) \)が一致しない例になっています。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(a\)において定義されていないため\(f\left( a\right) \)は存在しません。他方で、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを視覚的に確認できるため、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}という関係は成立します。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていないため\(f\left( a\right) \)は存在せず、変数\(x\)が\(a \)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と\(f\left( a\right) \)が一致するかどうかを検討することさえできない例になっています。

以上の例からわかるように、関数\(f\)が点\(a\)の周辺において定義されていれば、\(f\)が\(a\)において定義されているか否かに関わらず、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときの\(f\)の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)が存在するかどうかが検討可能です。また、仮に\(f\)が\(a\)において定義されている場合においても\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と\(f(a)\)は一致するとは限りません。ちなみに、上の3つの例ではいずれも\(f\)の\(a\)における極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)が存在しますが、一般には、関数は点において収束するとは限りません。この点については場を改めて詳しく議論します。

 

関数の極限の厳密な定義

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が収束すること、すなわち、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}を満たす有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が存在することとは、変数\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b \)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくと言うためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入したとき、\begin{equation*}
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が\(b \)に限りなく近づくと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、\(a\)に十分近くなおかつ\(a\)とは異なる任意の\(x \)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。つまり、\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。そこで、これまでの考察を逆手に取る形で、上の論理式によって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義とします。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}3x=6
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( 0<|x-2|<\delta \Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &3\left\vert
x-2\right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x-2\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\frac{\varepsilon }{3}
\end{equation*}を選びます。実際、\(0<|x-2|<\frac{\varepsilon }{3}\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3x-6\right\vert &=&3\left\vert x-2\right\vert \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because 0<|x-2|<\frac{\varepsilon }{3}
\\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。
例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =c
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(c\)は実数の定数です。このとき、任意の点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert c-c\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。\(\varepsilon >0\)であることから結論の\(\left\vert c-c\right\vert =0<\varepsilon \)が常に成り立つため、上の論理式そのものは明らかに真です。したがって証明が完了しました。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数\(c\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束し、その極限もまた常に\(c\)と一致します。
例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}=1
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( 0<|x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-1\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\left\vert \left(
x+1\right) \left( x-1\right) \right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert
<\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ますが、このままでは\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補を推測できません。今は\(x\rightarrow 1\)の場合について考えているため、最終的に\(\left\vert x-1\right\vert <1\)になることが予想されます。そこで\(\delta \leq 1\)と仮定して話を進めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-1\right\vert <\delta \leq 1 &\Rightarrow &-1<x-1<1 \\
&\Rightarrow &0<x<2 \\
&\Rightarrow &1<x+1<3
\end{eqnarray*}すなわち\(\left\vert x+1\right\vert <3\)が成り立ちます。したがってこのとき、\begin{equation*}
\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert
\end{equation*}となるため、\(3\left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)すなわち\(\left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}\)が成り立つ場合には\(\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)が成り立つことが保証されます。つまり\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{3}\)ならば\(\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)が成り立ちます。以上の議論は\(\delta \leq 1\)と\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{3}\)がともに真の場合に妥当であるため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\}
\end{equation*}を選びます。実際、\(0<\left\vert x-1\right\vert <\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \)を満たす任意の実数\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x+1\right) \left(
x-1\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert \\
&<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because \left\vert x-1\right\vert <1 \\
&<&3\left( \frac{\varepsilon }{3}\right) \quad \because \left\vert
x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{3} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

変数の近づき方に関する注意

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a\)ならば\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であることととは、変数\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)に限りなく近づくことを意味し、これを厳密に表現すると、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。上の論理式において、点\(a\)は定義域\(X\)に属していてもいなくてもどちらでも構いません。また、変数\(x\)が\(a\)に近づくときの近づきかたは問いませんが、\(a\)に近づく過程において任意の\(x\)は\(f\)の定義域\(X\)に属してなければならず、なおかつ\(x\)は\(a\)とは異なる点でなければなりません。上の論理式中の\(0<|x-a|\)は\(x\)が\(a\)とは異なる点であることを踏まえた条件になっています。では、上の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すと何が起こるでしょうか。すなわち、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義として、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を採用すると何らかの問題が発生するのでしょうか。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図で表される関数\(f\)について考えます。収束関数の本来の定義\(\left( 1\right) \)にしたがうと、この関数に関しては\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となります。つまり、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づくとき、\(f\left( x\right) \)は\(b\)に限りなく近づくというわけです。では、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には何が起こるでしょうか。\(\left( 2\right) \)では\(x\)が\(a\)に近づくときに\(x=a\)となる可能性が排除されていません。さらに図より\(\left\vert f\left( a\right) -b\right\vert >0\)であることを確認できます。そこで、\(\left\vert f\left( a\right) -b\right\vert >\varepsilon >0\)を満たす正の実数\(\varepsilon \)を適当にとると、それに対して、\begin{equation*}
\forall \delta >0,\ \exists a\in X:\left( |a-a|<\delta \wedge \left\vert
f\left( a\right) -b\right\vert >\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( 2\right) \)は偽となります。つまり、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には、上図の関数において\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であると言えなくなってしまいます。このような例を踏まえると、収束関数の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すことはできません。

 

変数が限りなく近づく点に関する注意

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するかどうかを検討するためには、そもそも\(f\)は\(a \)の周辺にある任意の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することとは、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)に限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、「\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づく」という状況を作ることさえできないからです。

もう少し厳密に議論をしましょう。\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない状況の具体例として、\(a\)が\(f\)の定義域\(X\)の孤立点であるような場合が考えられます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}
\exists \delta >0:U_{\delta }\left( a\right) \cap X=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(a\)を中心とする近傍の中に\(a\)以外の\(X\)の点を要素として持たないものが存在するということです。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)を選ぶと、そもそも\(\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす点\(X\)の点\(x\)は存在しないため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}という主張の前提\(\left\vert x-a\right\vert <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような実数を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法による関数の極限を踏まえたとき、\(a\)が\(X \)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)は任意の実数に限りなく近づくことになってしまいます。これでは関数の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限の実数へ収束するかどうかを検討する際には、\(a\)が\(f\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。

 

数列を用いた関数の極限の定義

イプシロン・デルタ論法を使って関数が収束することを証明するのは面倒です。関数の極限は数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用したほうが関数が収束することを容易に示すことができます。順を追って説明します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
証明
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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
証明
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この命題について注意しなければならないのは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束することが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、関数の収束という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

上の命題より、関数の収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(数列を用いた収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。先ほど、イプシロン・デルタ論法を用いて、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}3x=6
\end{equation*}が成り立つことを示しましたが、同じことを数列を用いて示します。具体的には、\(2\)とは異なる実数を項とするとともに\(2\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=2 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 3x_{n}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\quad \because \left( b\right)
\text{と収束する数列の定数倍} \\
&=&3\cdot 2\quad \because \left( b\right) \\
&=&6
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
例(数列を用いた収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先ほど、イプシロン・デルタ論法を用いて、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}=1
\end{equation*}が成り立つことを示しましたが、同じことを数列を用いて示します。具体的には、\(1\)とは異なる実数を項とするとともに\(1\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=1 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( x_{n}\right) ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) ^{2}\quad \because \left(
b\right) \text{と収束する数列の積} \\
&=&1^{2}\quad \because \left( b\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

 

関数が収束しないことの証明

先の命題は、関数が有限な実数へ収束しないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=1 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\frac{1}{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2} \\
&=&\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\{x_{n}\},\left\{ y_{n}\right\} \)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&\frac{1}{n} \\
y_{n} &=&-\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)に注目します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1\quad \because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}<0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、数列\(\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }0\quad \because \left( c\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)は異なる極限へ収束することが示されたため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが示されました。

 

関数の極限の一意性

関数が有限な実数へ収束するとき、その極限は常に一意的です。

命題(関数の極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)に関して極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\in \mathbb{R} \)を持つ場合、それは一意的である。
証明
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上の命題は、関数\(f\)が点\(a\)に関して収束する場合、そこでの極限が1つの実数として定まるという主張です。関数\(f\)が異なる複数の点である\(a\)と\(a^{\prime }\)に関して収束するとき、そこでの極限である\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)と\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^{\prime }}f\left( x\right) \)が常に一致するという主張ではありません。通常、極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)の値は点\(a\)の位置に応じて変化します。ただ、以下のような例外もあります。

例(関数の極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =c
\end{equation*}と定義されているとき、任意の点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}となります(確認してください)。つまり、この関数\(f\)の極限は\(a\)の値に依存せず\(c\)で一定です。

 

演習問題

問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{4}
\end{equation*}が成り立つことを「イプシロン・デルタ論法」と「数列を用いた収束関数の定義」の2つの方法でそれぞれ証明してください。
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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x^{3}-8}{x-2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =12
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^{2}+4x-12}{x^{2}-2x} & \left( if\ x\not=2\right) \\
0 & \left( if\ x=2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =4
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}x & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{1}{2}x+1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 1\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明してください。
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次回は関数の片側極限と呼ばれる概念について解説します。

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