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関数

関数の極限(収束する関数)

目次

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関数の極限の直感的な定義

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。このような点を議論の対象とする理由については後述します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b \)へ収束する(converge)と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
b
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

関数の収束に関して厳密な議論を行うためには、数列の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。その前に、関数の収束について考える際に留意すべき点をいくつか挙げます。

 

変数が限りなく近づく点の扱い

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するか検討する際には、\(f\)が点\(a\)の周辺の点において定義されてさえいれば、\(f\)が点\(a\)において定義されていなくても問題は生じません。なぜなら、関数\(f\)の\(x\rightarrow a\)のときの収束可能性について考える際には、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の値に挙動に興味があるのであり、変数\(x\)が点\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値である\(f\left( a\right) \)に興味があるわけではないからです。\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と\(f\left( a\right) \)は区別する必要があります。

図:関数の極限
図:関数の極限

関数が収束する場合のパターンとしてどのようなケースが起こり得るか、図を使いながら確認します。上図において関数\(f\)は点\(a\)およびその周辺の点において定義されているとともに、点\(a\)において\(f\left( a\right) =b\)が成立しています。さらに、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことも視覚的に確認できるため\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)が成立しています。以上より、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、この例では、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\left( x\right) \)の極限と、\(x\)が\(a\)と一致する場合の\(f\left( x\right) \)の値が一致しています。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(a\)およびその周辺の点において定義されていますが、点\(a\)では\(f\left( a\right) \not=b\)が成立しています。また、変数\(x\)が\(a \)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを視覚的に確認できるため\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)が成立しています。以上より、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\not=f(a)
\end{equation*}を得ます。つまり、この例では、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているものの、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の極限と、\(x\)が\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値が一致していません。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものの、点\(a\)において定義されておらず、したがって\(f\left( a\right) \)は存在しません。その一方で、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを視覚的に確認できるため、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成立しています。つまり、この例では、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていないため\(f\left( a\right) \)は存在せず、それが、変数\(x\)が点\(a \)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の極限と一致するか検討できません。

以上の例から明らかであるように、関数\(f\)が点\(a\)の周辺において定義されてさえいれば、\(f\)が点\(a\)において定義されているかどうかとは関係なく、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するか検討できます。また、\(f\)が点\(a\)において定義されている場合においても、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\left( x\right) \)の極限と、\(x \)が\(a\)と一致する場合の\(f\left( x\right) \)の値は一致するとは限りません。ちなみに、以上の3つの例ではいずれも\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しますが、一般的には、関数は有限な収束するとは限りません。後ほど具体例を提示します。

 

関数の極限の厳密な定義

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。この場合、有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味します。これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるとともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left(x\right) \rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(f\left(x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)より小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert x-a\right\vert
<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。

さて、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)より小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の論理式によって、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

先の命題中の条件\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)に対して\(x<a\)または\(x>a\)のどちらか一方が成り立ちます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際には、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、先の命題において、\(x\)がどのような経路をたどって\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}など、あらゆる経路が起こり得ることを想定した表現になっています。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。

実際の運用では、変数\(x\)を近づける先の点\(a \)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)の極限の候補となる何らかの実数\(b\)を具体的に設定した上で、それに対して上の論理式が成り立つことを示すことが目標になります。極限の候補\(b\)を特定する方法については後述します。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。点\(2\)は関数\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の集積点です。そこで、\(x\rightarrow 2\)の場合の極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =6
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x-2\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert
3x-6\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x-2\right\vert <\delta \Rightarrow 3\left\vert
x-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<\left\vert x-2\right\vert <\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &<&3\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+2x+3
\end{equation*}を定めるものとします。点\(-1\)は関数\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の集積点です。そこで、\(x\rightarrow -1\)の場合の極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) =2
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x+1\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert \left(
x^{2}+2x+3\right) -2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x+1\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert \left(
x+1\right) ^{2}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x+1\right\vert <\delta \Rightarrow \left( x+1\right)
^{2}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\sqrt{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<\left\vert x+1\right\vert <\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( x+1\right) ^{2} &=&\left\vert x+1\right\vert ^{2} \\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(1\)は関数\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の集積点です。そこで、\(x\rightarrow 1\)の場合の極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x-1\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert
x^{2}-1\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x-1\right) \left(
x+1\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left\vert x+1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x^{2}-1\right\vert \leq \left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(0<|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert -1 &\leq &\left\vert x-1\right\vert \\
&<&1\quad \because 0<|x-1|<1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <2 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(0<|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( 2+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3\left\vert x-1\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-1|<1\Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}0<|x-1|<\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because
\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&3\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は関数\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の集積点です。そこで、\(x\rightarrow 0\)の場合の極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( 0<\left\vert x-0\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert \sqrt{x}-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、\(x\in \mathbb{R} _{+}\)である状況を想定しているため、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( 0<x<\delta \Rightarrow \sqrt{x}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分です。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\varepsilon ^{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x} &<&\sqrt{\delta }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

変数の近づき方に関する注意

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味し、これを厳密に表現すると、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。点\(a\)は\(f\)の定義域\(X\)の要素でもそうでなくてもどちらでも構いません。また、変数\(x\)が点\(a\)に近づいていく経路は問いませんが、\(x\)が点\(a\)へ近づいていく過程において任意の\(x\)は\(f\)の定義域\(X\)に属してなければならず、なおかつ\(x\)は\(a\)とは異なる点でなければなりません。上の論理式中の\(0<|x-a|\)は\(x\)が\(a\)とは異なる点であることを踏まえた条件になっています。では、上の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すと何が起こるでしょうか。すなわち、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義として、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を採用すると何らかの問題が発生するのでしょうか。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図で表される関数\(f\)について考えます。関数の極限の本来の定義\(\left( 1\right) \)にしたがうと、この関数は\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となります。つまり、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づくとき、\(f\left( x\right) \)は\(b \)に限りなく近づくというわけです。では、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には何が起こるでしょうか。\(\left( 2\right) \)では\(x\)が\(a\)に近づく際に\(x=a\)となる可能性が排除されていません。さらに図より\(\left\vert f\left( a\right)-b\right\vert >0\)であることを確認できます。したがって、\begin{equation*}\left\vert f\left( a\right) -b\right\vert >\varepsilon >0
\end{equation*}を満たす正の実数\(\varepsilon \)をとることができ、それに対して、\begin{equation*}\forall \delta >0,\ \exists a\in X:\left( |a-a|<\delta \wedge \left\vert
f\left( a\right) -b\right\vert >\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(2\right) \)は偽となります。つまり、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には、上図の関数において\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であると言えなくなってしまいます。このような例を踏まえると、収束関数の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すことはできません。

 

関数の極限を定義する際に集積点を採用する理由

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、なぜ、変数\(x\)が近づく先の点\(a\)として関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点を採用するのでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束することを検討するためには、そもそも\(f\)は点\(a\)の周辺の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\left( x\right) \)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束することとは、変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が点\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、\(x\)を点\(a\)へ限りなく近づけることができなくなってしまうからです。

点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点である場合には、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、どれほど小さい\(\delta >0\)を選んだ場合でも\(N_{\delta }\left( a\right) \)と\(X\backslash \left\{ a\right\} \)は交わるため、点\(a\)から限りなく近い場所に点\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。ちなみに、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in X\)である場合には\(X\backslash \left\{ a\right\} =X\)となるため、上の命題は、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X\not=\phi
\end{equation*}と必要十分になります。これは点\(a\)が\(X\)の触点であることの定義に他なりません。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとともに、点\(a\)から限りなく近い場所に点\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

逆に、点\(a\)が\(f\)の定義域\(X\)の集積点ではない場合には何が起こるでしょうか。そこで、点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の孤立点である状況を想定します。孤立点は集積点ではありません。さて、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、十分小さい\(\delta >0\)を選んだ場合には\(N_{\delta}\left( a\right) \)と\(X\)の交わりには点\(a\)だけしか存在しないため、点\(a\)から限りなく近い場所において関数\(f\)は定義されていないことになります。このような場合、\(x\)をそもそも\(a\)へ限りなく近づけることができません。さらに言うと、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)に注目すると、そもそも\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす\(X\)の点\(x\)は存在しないため、以下の命題\begin{equation}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}の前提\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような実数を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法による関数の極限を踏まえたとき、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \)は任意の実数に限りなく近づくことになってしまいます。これでは関数の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限の実数へ収束するかを検討する際には、\(a\)が\(f\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。

 

関数の極限の一意性

関数が有限な実数へ収束する場合、その極限は必ず1つの実数として定まります。

命題(関数の極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、この極限は1つの実数として定まる。

証明

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演習問題

問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) =7
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{4}
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left[ f\left( x\right) -b\right] =0
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件であることを証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件であることを証明してください。

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問題(関数の極限と近傍)
点\(x\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、中心を\(x\)とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-y\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}として定義されます。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:f\left( N_{\delta }\left(
a\right) \backslash \left\{ a\right\} \right) \subset N_{\varepsilon }\left(
b\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件であることを証明してください。
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