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1変数関数

関数の極限

目次

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関数の極限の直感的な定義

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)はこの点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このような点を議論の対象とする理由については後述します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
b
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

関数の収束に関して厳密な議論を行うためには、数列の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。その前に、関数の収束について考える際に留意すべき点をいくつか挙げます。

 

変数が限りなく近づく点の扱い

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに収束するか検討する際には、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されてさえいれば、\(f\)が点\(a\)において定義されていなくても問題は生じません。なぜなら、関数\(f\)の\(x\rightarrow a\)のときの収束可能性について考える際には、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の値に挙動に興味があるのであり、変数\(x\)が点\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値である\(f\left( a\right) \)に興味があるわけではないからです。\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と\(f\left( a\right) \)は区別する必要があります。

図:関数の極限
図:関数の極限

関数が収束する場合のパターンとしてどのようなケースが起こり得るか、図を使いながら確認します。上図において関数\(f\)は点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)では\(f\left( a\right) =b\)が成立しています。さらに、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことも視覚的に確認できるため\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)が成立しています。以上より、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、この例では、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の極限と、\(x\)が\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値が一致しています。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されていますが、点\(a\)では\(f\left( a\right) \not=b\)が成立しています。また、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを視覚的に確認できるため\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)が成立しています。以上より、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\not=f(a)
\end{equation*}を得ます。つまり、この例では、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているものの、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の極限と、\(x\)が\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値が一致していません。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものの、点\(a\)において定義されておらず、したがって\(f\left( a\right) \)は存在しません。その一方で、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを視覚的に確認できるため、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成立しています。つまり、この例では、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていないため\(f\left( a\right) \)は存在せず、それが、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の極限と一致するか検討できません。

以上の例から明らかであるように、関数\(f\)が点\(a\)の周辺において定義されてさえいれば、\(f\)が点\(a\)において定義されているか否かとは関係なく、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに収束するか検討できます。また、\(f\)が点\(a\)において定義されている場合においても、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\left( x\right) \)の極限と、\(x\)が\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値は一致するとは限りません。ちなみに、以上の3つの例ではいずれも\(f\)は\(x\rightarrow a\)のとき収束しますが、一般的には、関数は収束するとは限りません。この点については場を改めて詳しく議論します。

 

関数の極限の厳密な定義

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x\rightarrow a\text{ならば}f\left( x\right) \rightarrow b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味します。これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の論理式によって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義とします。

以上の論理式中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)に対して\(x<a\)または\(x>a\)のどちらか一方が成り立ちます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていくプロセスにおいて、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、上の論理式において、\(x\)がどのような経路をたどって\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}など、あらゆる経路が起こり得ることを想定した表現になっています。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。実際の運用では、変数\(x\)を近づける先の点\(a\)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)の極限の候補となる何らかの実数\(b\)を具体的に設定した上で、それに対して上の論理式が成り立つことを示すことが目標になります。極限の候補\(b\)を特定する方法については後述します。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =6
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-2|<\delta \Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-2|<\delta \Rightarrow 3\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<|x-2|<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &<&3\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+2x+3
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) =2
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x+1|<\delta \Rightarrow \left\vert \left( x^{2}+2x+3\right)
-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x+1|<\delta \Rightarrow \left\vert \left( x+1\right)
^{2}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x+1|<\delta \Rightarrow \left( x+1\right) ^{2}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\sqrt{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<|x+1|<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( x+1\right) ^{2} &=&\left\vert x+1\right\vert ^{2} \\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x-1\right) \left(
x+1\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left\vert x+1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x^{2}-1\right\vert \leq \left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(0<|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert -1 &\leq &\left\vert x-1\right\vert \\
&<&1\quad \because 0<|x-1|<1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <2 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(0<|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( 2+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3\left\vert x-1\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-1|<1\Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}0<|x-1|<\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because
\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&3\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

変数の近づき方に関する注意

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味し、これを厳密に表現すると、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。点\(a\)は\(f\)の定義域\(X\)の要素でもそうでなくてもどちらでも構いません。また、変数\(x\)が点\(a\)に近づいていく経路は問いませんが、\(x\)が点\(a\)へ近づいていく過程において任意の\(x\)は\(f\)の定義域\(X\)に属してなければならず、なおかつ\(x\)は\(a\)とは異なる点でなければなりません。上の論理式中の\(0<|x-a|\)は\(x\)が\(a\)とは異なる点であることを踏まえた条件になっています。では、上の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すと何が起こるでしょうか。すなわち、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義として、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を採用すると何らかの問題が発生するのでしょうか。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図で表される関数\(f\)について考えます。収束関数の本来の定義\(\left( 1\right) \)にしたがうと、この関数に関しては\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)となります。つまり、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づくとき、\(f\left( x\right) \)は\(b\)に限りなく近づくというわけです。では、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には何が起こるでしょうか。\(\left( 2\right) \)では\(x\)が\(a\)に近づく際に\(x=a\)となる可能性が排除されていません。さらに図より\(\left\vert f\left( a\right) -b\right\vert >0\)であることを確認できます。したがって、\begin{equation*}\left\vert f\left( a\right) -b\right\vert >\varepsilon >0
\end{equation*}を満たす正の実数\(\varepsilon \)をとることができ、それに対して、\begin{equation*}\forall \delta >0,\ \exists a\in X:\left( |a-a|<\delta \wedge \left\vert
f\left( a\right) -b\right\vert >\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(2\right) \)は偽となります。つまり、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には、上図の関数において\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であると言えなくなってしまいます。このような例を踏まえると、収束関数の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すことはできません。

 

変数が限りなく近づく点に関する注意

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束することを検討するためには、そもそも\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\left(x\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することとは、変数\(x\)を点\(a \)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left(x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない場合、\(x\)を点\(a\)へ限りなく近づけることができなかったり、\(x\)が点\(a\)へ近づいていく際の経路が限定されてしまうからです。

例(変数を孤立点へ近づける場合)
関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない状況の具体例として、点\(a\)が\(f\)の定義域\(X\)の孤立点であるような場合が考えられます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\delta \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left( a-\delta ,a+\delta \right)
\end{equation*}と定義されます。つまり\(\left( 1\right) \)は、点\(a\)を中心とする近傍の中に点\(a\)以外の\(X\)の点を要素として持たないものが存在することを意味します。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)を選ぶと、そもそも\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす点\(X\)の点\(x\)は存在しないため、\begin{equation}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}という主張の前提\(\left\vert x-a\right\vert <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような実数を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法による関数の極限を踏まえたとき、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)は任意の実数に限りなく近づくことになってしまいます。これでは関数の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限の実数へ収束するかどうかを