すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)について、それが収束することの直感的な意味を解説し、さらにイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。

収束関数の直感的な定義

すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を議論の対象とします。このような写像を実変数の実数値関数(real-valued function of a real variable)や1 変数の実数値関数(real-valued function of single real variable)などと呼びますが、以降ではシンプルに関数(function)と呼ぶこととします。

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)は点\(\alpha \in \mathbb{R}\)の周辺において定義されているものとします。つまり、点\(\alpha \)の周辺にある任意の点が\(X\)の要素であるということです。点\(\alpha \)自身は\(X\)の要素であっても、そうでなくても、どちらでもかまいません。さて、\(X\)の点を値としてとり得る変数\(x\)が、点\(\alpha \)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)がある値\(\beta \in \mathbb{R}\)に限りなく近づく場合には、\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくときに\(f\)は\(\beta \)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow \beta
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(\beta \)を\(x\rightarrow \alpha \)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

ただし、関数の収束に関して議論を厳密に行う場合には収束列の場合と同様に、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を正確に表現する必要があります。その前に、収束関数に関する留意事項をいくつか指摘します。

数列の収束について復習する

 

変数が限りなく近づく点の扱い

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(\alpha \)における極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)について考える際には、\(f\)は\(\alpha \)の周辺において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも\(\alpha \)において定義されている必要はありません。言い換えると、点\(\alpha \)の周辺の点が\(f\)の定義域\(X\)に含まれてさえいれば、\(\alpha \)が\(X\)に含まれていない場合にも\(f\)の\(\alpha \)における収束可能性を検討することはできます。なぜなら、\(f\)の\(\alpha \)における極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)について考える際には、\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の値に興味があるのであって、\(x\)が\(\alpha \)に一致するときの\(f\left( x\right) \)の値である\(f\left( \alpha \right)\)に興味があるわけではないからです。つまり、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と\(f\left( \alpha \right) \)は明確に区別する必要があります。

以下では図を使いながら、関数が収束する場合のパターンとしてどのようなケースが起こり得るか、視覚的に確認します。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(\alpha \)において定義されていると同時に、そこで\(f\left( \alpha \right) =\beta \)という関係が成立しています。さらに、変数\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(\beta \)に限りなく近づくことも視覚的に確認できます。したがってこれは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta =f(\alpha )
\end{equation*}という関係が成立するケースです。つまり、関数\(f\)が点\(\alpha \)において定義されていると同時に、変数\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と、\(x\)が\(\alpha \)と一致するときの値\(f\left( \alpha \right) \)が一致する例です。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(\alpha \)において定義されていますが、そこでは\(f\left( \alpha \right) \not=\beta \)という関係が成立しています。同時に、変数\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(\beta \)に限りなく近づくことを視覚的に確認できます。したがってこれは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta \not=f(\alpha )
\end{equation*}という関係が成立するケースです。つまり、関数\(f\)が点\(\alpha \)において定義されているものの、変数\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と、\(x\)が\(\alpha \)と一致するときの値\(f\left( \alpha \right) \)が一致しない例になっています。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(\alpha \)において定義されていないため\(f\left( \alpha \right) \)は存在しません。他方で、変数\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(\beta \)に限りなく近づくことを視覚的に確認できるため、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta
\end{equation*}という関係は成立します。つまり、関数\(f\)が点\(\alpha \)において定義されていないため\(f\left( \alpha \right) \)は存在せず、変数\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と\(f\left( \alpha \right) \)が一致するかどうかを検討することさえできない例になっています。

以上の例からわかるように、関数\(f\)が点\(\alpha \)の周辺において定義されていれば、\(f\)が\(\alpha \)において定義されているか否かに関わらず、変数\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくときの\(f\)の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)が存在するかどうかを検討することは可能です。また、仮に\(f\)が\(\alpha \)において定義されている場合においても\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と\(f(a)\)は一致するとは限りません。ちなみに、上の 3 つの例ではいずれも\(f\)の\(\alpha \)における極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)が存在しますが、一般には、関数は点において収束するとは限りません。この点については場を改めて詳しく議論します。

 

収束関数の厳密な定義

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束するとは、すなわち、ある実数\(\beta \in \mathbb{R}\)が存在して、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta
\end{equation*}が成り立つこととは、変数\(x\)が\(\alpha \)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(\beta \)に限りなく近づくことを意味しますが、以下ではその意味をもう少し厳密に考えます。下図のグラフで表される関数\(f\)は\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)である例になっています。

図:近さを表す指標
図:近さを表す指標

変数\(x\)の値が\(\alpha \)に限りなく近づくときに\(f\left( x\right) \)の値が\(\beta \)に限りなく近くなることを厳密に表現するためには、\(x\)がどの程度まで\(\alpha \)に近づけば\(f\left( x\right) \)がどの程度まで\(\beta \)に近づくか、その程度を表す数値が必要です。そこで、\(x\)と\(\alpha \)の距離を表す指標として正の実数\(\delta \)を導入します。上図が示すように、仮に\(x\)が\(\alpha \)とは異なる点であると同時に開区間\(\left( \alpha -\delta ,a+\delta \right) \)に属するならば、すなわち\(0<\left\vert x-\alpha \right\vert <\delta \)が成り立つのであれば、\(x\)と\(\alpha \)の距離は\(\delta \)よりも小さいということになります。

また、\(f\left( x\right) \)の値が点\(\beta \)に近いと言うためにも両者の距離を表す指標が必要であるため、そのような指標として正の実数\(\varepsilon \)を導入します。上図が示すように、仮に\(f\left( x\right) \)が開区間\(\left( \beta -\varepsilon ,\beta +\varepsilon \right) \)に属するならば、すなわち\(\left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \)が成り立つのであれば、\(f\left( x\right) \)と\(\beta \)の距離は\(\varepsilon \)よりも小さいということになります。

今、正の実数\(\varepsilon \)を任意に選ぶと、\(f\left( x\right) \)と\(\beta \)の距離が\(\varepsilon \)より小さくなるところまで\(f\left( x\right) \)が\(\beta \)に近づくためには、\(x\)を\(\alpha \)にどれだけ近づける必要があるのか、その程度を示す数値を提示する必要があります。そこで、その数値を\(\delta \)とするならば、\(0<\left\vert x-\alpha \right\vert <\delta \)が成り立つところまで\(x\)が\(\alpha \)に近づいたときには\(\left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \)が成り立つことになります。特に、\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)が成り立つのであれば、最初に設定する\(\varepsilon \)はどんなに小さくとることもでき、その\(\varepsilon \)に応じて上のような\(\delta \)が得られるはずです。変数\(x\)の値が\(\alpha \)に限りなく近づくとき\(f\left( x\right) \)の値が\(\beta \)に限りなく近づくことは、このような 2 つの数値\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現できるというわけです。以下では同じことをもう少し具体的に説明しましょう。

図:関数の収束
図:関数の収束

ベンチマークとして上図のような正の実数\(\varepsilon _{1}\)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)が成り立つのであれば、\(\alpha \)に十分近くなおかつ\(\alpha \)とは異なる任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は区間\(\left( \beta – \varepsilon _{1},\beta +\varepsilon _{1}\right) \)の中に入るはずです。もう少し正確に表現すると、上図のような正の実数\(\delta _{1}\)が存在して、区間\(\left( \alpha -\delta _{1},\alpha +\delta _{1}\right) \)に属する\(\alpha \)とは異なる任意の点\(x\)については、\(f\left( x\right)\)が区間\(\left( \beta -\varepsilon _{1},\beta +\varepsilon _{1}\right) \)に属するはずです。以上の主張を論理式を用いて表現すると、\(\varepsilon _{1}>0\)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation*}
\exists \delta _{1}>0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta _{1}\ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon _{1}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。しかし、\(f\left( x\right) \)が\(\beta \)に限りなく近づくと言うのにこれだけでは不十分です。

図:関数の収束
図:関数の収束

そこで上図のように、先の\(\varepsilon _{1}\)よりも小さい正の実数\(\varepsilon _{2}\)を任意に選びます。\(f\left( x\right) \)が入るべき区間が\(\left( \beta -\varepsilon _{1},\beta +\varepsilon _{1}\right) \)から\(\left( \beta -\varepsilon _{2},\beta +\varepsilon _{2}\right) \)へと狭くなったため、先の区間\(\left( \alpha -\delta _{1},\alpha +\delta _{1}\right) \)に属する\(x\)の中には\(f\left( x\right) \)が\(\left( \beta -\varepsilon _{2},\beta +\varepsilon _{2}\right) \)からはみ出てしまうものが発生するかもしれません。しかし、\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)が成り立つ限りにおいて、上図のように\(\left( \alpha -\delta _{1},\alpha +\delta _{1}\right) \)よりも狭い区間\(\left( \alpha -\delta _{2},\alpha +\delta _{2}\right) \)を選ぶことにより、この新たな区間\(\left( \alpha -\delta _{2},\alpha +\delta _{2}\right) \)に属する\(\alpha \)とは異なる任意の点\(x\)については、\(f\left( x\right) \)が区間\(\left( \beta -\varepsilon _{2},\beta +\varepsilon _{2}\right) \)に属するはずです。以上の主張を論理式を用いて表現すると、\(\varepsilon _{1}>\varepsilon _{2}\)を満たす正の実数\(\varepsilon _{2}>0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して、\begin{equation*}
\exists \delta _{2}>0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta _{2}\ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon _{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)である限りにおいて、同様の議論をいくらでも繰り返すことができます。つまり、関数\(f\)について\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)が成り立つ場合には、最初に設定する区間\(\left( \beta -\varepsilon ,\beta +\varepsilon \right) \)をどれほど狭くした場合でも、それに対して何らかの区間\(\left( \alpha -\delta ,\alpha +\delta \right) \)が存在して、この\(\left( \alpha -\delta ,\alpha +\delta \right) \)に属する\(\alpha \)とは異なる任意の点\(x\)については、\(f\left( x\right) \)が\(\left( \beta -\varepsilon ,\beta +\varepsilon \right) \)に属するはずです。以上の主張を論理式を用いて表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。そこで、これまでの考察を逆手に取る形で、上の論理式によって、\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)であることの定義とします。つまり、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta \)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

 

変数の近づき方に関する注意

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束することとは、変数\(x\)が\(\alpha \)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(\beta \in \mathbb{R}\)に限りなく近づくことを意味し、これを厳密に表現すると、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right) \tag{1}
\end{equation}となります。上の論理式において、点\(\alpha \)は定義域\(X\)に属していてもいなくてもどちらでも構いません。また、変数\(x\)が\(\alpha \)に近づくときの近づきかたは問いませんが、\(a\)に近づく過程において任意の\(x\)は定義域\(X\)に属してなければならず、なおかつ\(x\)は\(\alpha \)とは異なる点でなければなりません。上の論理式中の\(0<|x-\alpha |\)は\(x\)が\(\alpha \)とは異なる点であることを踏まえた条件になっています。では、上の定義において\(0<|x-\alpha |\)という条件を外すと何が起こるでしょうか。すなわち、\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)が成り立つことの定義として、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( |x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right) \tag{2}
\end{equation}を採用すると何らかの問題が発生するでしょうか。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図で表される関数\(f\)について考えます。収束関数の本来の定義\(\left( 1\right) \)にしたがうと、この関数に関しては\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)となります。つまり、\(x\)が\(\alpha \)とは異なる値をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくとき、\(f\left( x\right) \)は\(\beta \)に限りなく近づくというわけです。では、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には何が起こるでしょうか。\(\left( 2\right) \)では\(x\)が\(\alpha \)に近づくときに\(x=\alpha \)となる可能性が排除されていません。さらに図より\(\left\vert f\left( \alpha \right) -\beta \right\vert >0\)であることを確認できます。そこで、\(\left\vert f\left( \alpha \right) -\beta \right\vert >\varepsilon >0\)を満たす正の実数\(\varepsilon \)を適当にとると、それに対して、\begin{equation*}
\forall \delta >0,\ \exists \alpha \in X:\left( |\alpha -\alpha |<\delta \ \wedge \ \left\vert f\left( \alpha \right) -\beta \right\vert >\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( 2\right) \)は偽となります。つまり、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には、上図の関数において\(x\rightarrow \alpha \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow \beta \)であると言えなくなってしまいます。このような例を踏まえると、収束関数の定義において\(0<|x-\alpha |\)という条件を外すことはできません。

例(関数の極限)
\(f\left( x\right) =3x\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}3x=6
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R}:\left( 0<|x-2|<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &3\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x-2\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\frac{\varepsilon }{3}\)を選びます。実際、\(0<|x-2|<\frac{\varepsilon }{3}\)であるような任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3x-6\right\vert &=&3\left\vert x-2\right\vert \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because 0<|x-2|<\frac{\varepsilon }{3} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。
例(関数の極限)
\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}=1
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R}:\left( 0<|x-1|<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert x^{2}-1\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-1\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\left\vert \left( x+1\right) \left( x-1\right) \right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ますが、このままでは\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補を推測できません。今は\(x\rightarrow 1\)の場合について考えているため、最終的に\(\left\vert x-1\right\vert <1\)になることが予想されます。そこで\(\delta \leq 1\)と仮定して話を進めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-1\right\vert <\delta \leq 1 &\Rightarrow &-1<x-1<1 \\
&\Rightarrow &0<x<2 \\
&\Rightarrow &1<x+1<3
\end{eqnarray*}すなわち\(\left\vert x+1\right\vert <3\)が成り立ちます。したがってこのとき、\begin{equation*}
\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <3\left\vert x-1\right\vert
\end{equation*}となるため、\(3\left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)すなわち\(\left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}\)が成り立つ場合には\(\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)が成り立つことが保証されます。つまり\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{3}\)ならば\(\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)が成り立ちます。以上の議論は\(\delta \leq 1\)と\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{3}\)がともに真の場合に妥当であるため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\}
\end{equation*}を選びます。実際、\(0<\left\vert x-1\right\vert <\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \)を満たす任意の実数\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x+1\right) \left( x-1\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert \\
&<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because \left\vert x-1\right\vert <1 \\
&<&3\left( \frac{\varepsilon }{3}\right) \quad \because \left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{3} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

関数の極限の一意性

関数が収束するとき、その極限は常に一意的です。

命題(関数の極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束する場合には、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)は一意的である。
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次回は変数が無限に大きくなる・小さくなる場合の関数の極限について解説します。
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