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関数の極限

目次

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関数の極限の直感的な定義

実数空間\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を議論の対象とします。このような写像を実変数の実数値関数(real-valued function of a real variable)や1変数の実数値関数(real-valued function of single real variable)などと呼びますが、以降ではシンプルに関数(function)と呼ぶこととします。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。その一方で、\(f\)は点\(a\)において定義されていてもいなくても、どちらでも構いません。このような点\(a\)を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に限りなく近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のときに }f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などと表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

関数の収束に関して厳密な議論を行うためには、数列の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。その前に、関数の収束について考える際に留意すべき点をいくつか指摘します。

 

変数が限りなく近づく点の扱い

関数の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)について考える際には、関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも点\(a\)において定義されている必要はありません。言い換えると、\(a\)の周辺にある任意の点が\(f\)の定義域\(X\)に含まれてさえいれば、\(a\)そのものが\(X\)に含まれていない場合でも、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の収束可能性を検討できます。なぜなら、極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)について考える際には、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの\(f\left( x\right) \)の値に挙動に興味があるのであり、変数\(x\)が点\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値である\(f\left(a\right) \)に興味があるわけではないからです。つまり、\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と\(f\left( a\right) \)は区別する必要があります。

図:関数の極限
図:関数の極限

関数が収束する場合のパターンとしてどのようなケースが起こり得るか、図を使いながら確認します。上図において関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとともに、そこで\(f\left( a\right) =b\)という関係が成立しています。さらに、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことも視覚的に確認できます。したがって、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b=f(a)
\end{equation*}という関係が成立しています。つまりこれは、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha}f(x)\)と、\(x\)が\(a\)と一致するときの\(f\left( x\right) \)の値\(f\left( a\right) \)が一致する例です。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(a\)において定義されていますが、そこでは\(f\left( a\right) \not=b\)という関係が成立しています。同時に、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを視覚的に確認できます。したがって、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\not=f(a)
\end{equation*}という関係が成立しています。つまりこれは、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているものの、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と、\(x\)が\(a\)と一致するときの値\(f\left( a\right) \)が一致しない例です。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図において関数\(f\)は点\(a\)において定義されていないため\(f\left( a\right) \)は存在しません。他方で、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくことを視覚的に確認できるため、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}という関係が成立しています。つまりこれは、関数\(f\)は点\(a\)において定義されていないため\(f\left( a\right) \)は存在せず、変数\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と\(f\left( a\right) \)が一致するかどうかを検討できない例です。

以上の例からわかるように、関数\(f\)が点\(a\)の周辺において定義されていれば、\(f\)が点\(a\)において定義されているか否かに関わらず、変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)が存在するかどうかが検討可能です。また、仮に\(f\)が点\(a\)において定義されている場合においても\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)と\(f(a)\)は一致するとは限りません。ちなみに、上の3つの例ではいずれも極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)が存在しますが、一般には、関数の極限は存在するとは限りません。この点については場を改めて詳しく議論します。

 

関数の極限の厳密な定義

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}を満たす有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が存在することとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくと言うためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入したとき、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。そこで、以上の論理式によって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義とします。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

以上の定義を踏まえた上で、関数が収束することを示してみましょう。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =6
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-2|<\delta \Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-2|<\delta \Rightarrow 3\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、\begin{equation}
0<|x-2|<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &<&3\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+2x+3
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) =2
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x+1|<\delta \Rightarrow \left\vert \left( x^{2}+2x+3\right)
-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x+1|<\delta \Rightarrow \left\vert \left( x+1\right)
^{2}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x+1|<\delta \Rightarrow \left( x+1\right) ^{2}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\sqrt{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<|x+1|<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( x+1\right) ^{2} &=&\left\vert x+1\right\vert ^{2} \\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x-1\right) \left(
x+1\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left\vert x+1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x^{2}-1\right\vert \leq \left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(0<|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert -1 &\leq &\left\vert x-1\right\vert \\
&<&1\quad \because 0<|x-1|<1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <2 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(0<|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( 2+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3\left\vert x-1\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<|x-1|<1\Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}0<|x-1|<\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because
\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&3\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

変数の近づき方に関する注意

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つこととは、変数\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left(x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)に限りなく近づくことを意味し、これを厳密に表現すると、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。上の論理式において、点\(a\)は\(f\)の定義域\(X\)の要素でもそうでなくてもどちらでも構いません。また、変数\(x\)が点\(a\)に近づく際の近づきかたは問いませんが、\(x\)が点\(a\)へ近づく過程において任意の\(x\)は\(f\)の定義域\(X\)に属してなければならず、なおかつ\(x\)は\(a\)とは異なる点でなければなりません。上の論理式中の\(0<|x-a|\)は\(x\)が\(a\)とは異なる点であることを踏まえた条件になっています。では、上の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すと何が起こるでしょうか。すなわち、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義として、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を採用すると何らかの問題が発生するのでしょうか。

図:関数の極限
図:関数の極限

上図で表される関数\(f\)について考えます。収束関数の本来の定義\(\left( 1\right) \)にしたがうと、この関数に関しては\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)となります。つまり、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づくとき、\(f\left( x\right) \)は\(b\)に限りなく近づくというわけです。では、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には何が起こるでしょうか。\(\left( 2\right) \)では\(x\)が\(a\)に近づく際に\(x=a\)となる可能性が排除されていません。さらに図より\(\left\vert f\left( a\right) -b\right\vert >0\)であることを確認できます。したがって、\begin{equation*}\left\vert f\left( a\right) -b\right\vert >\varepsilon >0
\end{equation*}を満たす正の実数\(\varepsilon \)をとることができ、それに対して、\begin{equation*}\forall \delta >0,\ \exists a\in X:\left( |a-a|<\delta \wedge \left\vert
f\left( a\right) -b\right\vert >\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(2\right) \)は偽となります。つまり、収束関数の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には、上図の関数において\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であると言えなくなってしまいます。このような例を踏まえると、収束関数の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すことはできません。

 

変数が限りなく近づく点に関する注意

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するかどうかを検討するためには、そもそも\(f\)は\(a \)の周辺にある任意の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することとは、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)に限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、「\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づく」という状況を作ることさえできないからです。

もう少し厳密に議論をしましょう。\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない状況の具体例として、\(a\)が\(f\)の定義域\(X\)の孤立点であるような場合が考えられます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\delta \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left( a-\delta ,a+\delta \right)
\end{equation*}と定義されます。つまり\(\left( 1\right) \)は、点\(a\)を中心とする近傍の中に点\(a\)以外の\(X\)の点を要素として持たないものが存在することを意味します。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)を選ぶと、そもそも\(\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす点\(X\)の点\(x\)は存在しないため、\begin{equation}\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}という主張の前提\(\left\vert x-a\right\vert <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような実数を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法による関数の極限を踏まえたとき、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)は任意の実数に限りなく近づくことになってしまいます。これでは関数の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限の実数へ収束するかどうかを検討する際には、\(a\)が\(f\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。

「関数\(f\)が点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている」という表現が曖昧で気に入らなければ、これを「点\(a\)は関数\(f\)の定義域の集積点である」と言い換えることもできます。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(X\)の集積点であることとは、点\(a\)の任意の近傍が点\(a\)とは異なる\(X\)の要素を持つこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。点\(a\)に限りなく近い点\(x\)を任意に選ぶと、これは\(x\in N_{\delta}\left( a\right) \)を満たします。上の定義より任意の\(\delta \)について\(N_{\delta }\left( a\right) \)と\(X\backslash \left\{ a\right\} \)は交わるため、十分小さい\(\delta \)を選べば\(x\in X\)となり、したがって\(f\)が点\(x\)において定義されていることが保証されます。ちなみに、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in X\)が成り立つ場合には\(X\backslash \left\{ a\right\} =X\)となるため、上の定義を、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X\not=\phi
\end{equation*}と言い換えることができます。これは点\(a\)が\(X\)の触点であることの定義に他なりません。この場合にも、点\(a\)に限りなく近い点\(x\)を任意に選ぶと、先と同様の理由により、\(x\in X\)となることが保証されます。

 

関数の極限の一意性

関数が有限な実数へ収束するとき、その極限は常に一意的です。

命題(関数の極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)に関して極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\in \mathbb{R} \)が存在する場合、それは一意的である。
証明

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演習問題

問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) =7
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{4}
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left[ f\left( x\right) -b\right] =0
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件であることを証明してください。

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問題(関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件であることを証明してください。

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問題(関数の極限と近傍)
点\(x\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、中心を\(x\)とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-y\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}として定義されます。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:f\left( N_{\delta }\left(
a\right) \backslash \left\{ a\right\} \right) \subset N_{\varepsilon }\left(
b\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件であることを証明してください。
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関数の極限をイプシロン・デルタ論法を用いて定義しましたが、次回は同様の概念を数列を用いて定義します。

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DISCUSSION

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