関数の極限の不定形

関数の極限が不定形の場合でも、関数を変形した上で極限をとることにより、不定形を解消できることがあります。ここでは関数を簡約化する手法、因数分解する手法、有理化する手法、はさみうちの定理を利用する手法などについて解説します。
関数 不定形
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関数を簡約化する手法

関数の極限が不定形の場合でも、その関数を簡約化してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。

例(関数を簡約化する手法)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =2x-x
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( 2x-x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \infty }\left( 2x\right) -\lim_{x\rightarrow \infty }x
\\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、\begin{equation}
f\left( x\right) =2x-x=x \quad\cdots (1)
\end{equation}と簡約化できることに注目すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}x\quad \because \left( 1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow \infty \)の場合に\(f\left( x\right) \)は正の無限大へ発散することが明らかになりました。
例(関数を簡約化する手法)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x\cdot \frac{7}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( x\cdot
\frac{7}{x}\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{7}{x} \\
&=&0\cdot \left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、\begin{equation}
f\left( x\right) =x\cdot \frac{7}{x}=7 \quad\cdots (1)
\end{equation}と簡約化できることに注目すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}7\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&7
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\left( x\right) \)は\(7\)へ収束することが明らかになりました。
例(関数を簡約化する手法)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{-4\left( n+1\right) }{n+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty }
\left[ \frac{-4\left( n+1\right) }{n+1}\right] \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left[ -4\left( n+1\right) \right] }{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( n+1\right) } \\
&=&\frac{-\infty }{+\infty }
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、\begin{equation}
f\left( x\right) =\frac{-4\left( n+1\right) }{n+1}=-4 \quad\cdots (1)
\end{equation}と簡約化できることに注目すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( -4\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-4
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow \infty \)の場合に\(f\left( x\right) \)は\(-4\)へ収束することが明らかになりました。

 

関数を因数分解する手法

関数の極限が不定形の場合でも、関数を因数分解してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。中でも最も典型的な手法は因数分解する際に最高次の項でくくるというものです。以下に例を挙げます。

例(関数を因数分解する手法)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x^{2}-7x
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( 3x^{2}-7x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \infty }\left( 3x^{2}\right) -\lim_{x\rightarrow
\infty }\left( 7x\right) \\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、\(f\left( x\right) \)を\(x^{2}\)でくくると、\begin{equation}
f\left( x\right) =3x^{2}-7x=x^{2}\left( 3-\frac{7}{x}\right) \quad\cdots (1)
\end{equation}となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty }
\left[ x^{2}\left( 3-\frac{7}{x}\right) \right] \quad \because \left(
1\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}\cdot \lim_{x\rightarrow \infty }\left( 3-\frac{7}{x}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 3 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow \infty \)の場合に\(f\left( x\right) \)は正の無限大へ発散することが明らかになりました。
例(関数を因数分解する手法)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{6x^{4}-3x^{2}}{8x^{7}+3x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \frac{6x^{4}-3x^{2}}{8x^{7}+3x}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 6x^{4}-3x^{2}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 8x^{7}+3x\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 6x^{4}\right)
-\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 3x^{2}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 8x^{7}\right)
+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 3x\right) } \\
&=&\frac{\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) }{\left( +\infty
\right) +\left( +\infty \right) } \\
&=&\frac{\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) }{+\infty }
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、\(f\left( x\right) \)の分子と分母を\(x^{7}\)でくくると、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\frac{6x^{4}-3x^{2}}{8x^{7}+3x} \\
&=&\frac{x^{7}\left( \frac{6}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}\right) }{x^{7}\left( 8+\frac{3}{x^{6}}\right) } \\
&=&\frac{\frac{6}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}}{8+\frac{3}{x^{6}}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f\left( x\right) =\frac{\frac{6}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}}{8+\frac{3}{x^{6}}}
\quad\cdots (1)
\end{equation}となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty }
\left[ \frac{\frac{6}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}}{8+\frac{3}{x^{6}}}\right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{6}{x^{3}}\right)
-\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{x^{5}}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }8+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left(
\frac{3}{x^{6}}\right) } \\
&=&\frac{0-0}{8+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow \infty \)の場合に\(f\left( x\right) \)は\(0\)へ収束することが明らかになりました。

以下もまた関数を因数分解する手法の応用例です。

例(関数を因数分解する手法)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x^{2}+3x-4}{2x^{2}+3x-5}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x^{2}+3x-4}{2x^{2}+3x-5}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}+3x-4\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left( 2x^{2}+3x-5\right) } \\
&=&\frac{0}{0}
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、\(f\left( x\right) \)の分子と分母を因数分解した上で約分すると、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\frac{x^{2}+3x-4}{2x^{2}+3x-5} \\
&=&\frac{\left( x-1\right) \left( x+4\right) }{\left( x-1\right) \left(
2x+5\right) } \\
&=&\frac{x+4}{2x+5}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f\left( x\right) =\frac{x+4}{2x+5} \quad\cdots (1)
\end{equation}となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x+4}{2x+5}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left( x+4\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left( 2x+5\right) } \\
&=&\frac{5}{7}
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow 1\)の場合に\(f\left( x\right) \)は\(\frac{5}{7}\)へ収束することが明らかになりました。

 

関数を有理化する手法

関数の極限が不定形の場合でも、その関数が無理式を含む場合には、有理化することにより不定形を解消できることがあります。

例(関数を有理化する手法)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}+1}-x
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \sqrt{x^{2}+1}\right)
-\lim_{x\rightarrow \infty }x \\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、この関数を有理化すると、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\frac{\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) \left( \sqrt{x^{2}+1}+x\right) }{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\
&=&\frac{\left( x^{2}+1\right) -x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f\left( x\right) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \quad\cdots (1)
\end{equation}となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }1}{\lim\limits_{x\rightarrow
\infty }\left( \sqrt{x^{2}+1}+x\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }1}{\lim\limits_{x\rightarrow
\infty }\sqrt{x^{2}+1}+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x} \\
&=&\frac{1}{\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow \infty \)の場合に\(f\left( x\right) \)は\(0\)へ収束することが明らかになりました。
例(関数を有理化する手法)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \frac{x-1}{\sqrt{x}+1}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \sqrt{x}+1\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x-\lim\limits_{x\rightarrow
\infty }1}{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\sqrt{x}+\lim\limits_{x\rightarrow \infty }1} \\
&=&\frac{\left( +\infty \right) -1}{\left( +\infty \right) +1} \\
&=&\frac{+\infty }{+\infty }
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、この関数を有理化すると、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\frac{\left( x-1\right) \left( \sqrt{x}-1\right) }{\left( \sqrt{x}+1\right) \left( \sqrt{x}-1\right) } \\
&=&\frac{\left( x-1\right) \left( \sqrt{x}-1\right) }{x-1} \\
&=&\sqrt{x}-1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
f\left( x\right) =\sqrt{x}-1 \quad\cdots (1)
\end{equation}となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \sqrt{x}-1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt{x}-\lim_{x\rightarrow \infty }1 \\
&=&\left( +\infty \right) -1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow \infty \)の場合に\(f\left( x\right) \)は正の無限大へ発散することが明らかになりました。

 

はさみうちの定理を利用する手法

復習になりますが、はさみうちの定理とは以下の命題です。

命題(はさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。\(f,h\)が拡大実数\(a\in \mathbb{R} ^{\ast }\)において同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、\(g\)もまた\(a\)において\(b\)へ収束する。ただし、\(a\)が拡大実数であるとは、\(a\)が有限な実数や正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)であることを意味します。

関数\(g\)の極限が不定形の場合でも、上の命題中の条件を満たす関数\(f,h\)を見つけることができれば、上の命題より、関数\(g\)が収束することを保証でき、なおかつその極限が明らかになります。

例(はさみうちの定理を利用する手法)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{\cos x}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \frac{\cos x}{x}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \cos x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \cos x\right) }{+\infty }
\end{eqnarray*}となりますが、関数\(\cos x\)は振動するため上の極限は不定形です。任意の\(x\)について\begin{equation*}
-1\leq \cos x\leq 1
\end{equation*}が成り立ちます。\(x\rightarrow \infty \)の場合について考えているため\(x>0\)としてよく、上の不等式の各辺を\(x>0\)で割ることにより、\begin{equation*}
-\frac{1}{x}\leq \frac{\cos x}{x}\leq \frac{1}{x}
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{x}\right) =\lim_{x\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0
\end{equation*}であることから、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{\cos x}{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

次回からは関数の連続性について解説します。

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