整数ベキ関数の極限
整数ベキ関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}と表されるということです。\(z>0\)の場合には\(f\)は自然数ベキ関数になり、\(z=0\)の場合には\(f\)は定数関数\(1\)になります。自然数ベキ関数や定数関数の極限についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)である状況を想定します。この場合、何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}となります。
ゼロとは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}となります。
命題（整数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。
例（整数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。
例（整数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =a^{4}+2a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in \mathbb{R} \)に対して\(a^{4}+2a^{2}+1\not=0\)であるため、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{4}+2a^{2}+1}x^{-3}=\left( a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{-3}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(x^{-3}\)は点\(a^{4}+2a^{2}+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{-3}\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =a^{4}+2a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in \mathbb{R} \)に対して\(a^{4}+2a^{2}+1\not=0\)であるため、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{4}+2a^{2}+1}x^{-3}=\left( a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{-3}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(x^{-3}\)は点\(a^{4}+2a^{2}+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{-3}\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
例（整数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{-4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\not=0\)であるため、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}x^{-4}=\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{-4} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(x^{-4}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{-4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\not=0\)であるため、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}x^{-4}=\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{-4} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(x^{-4}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
整数ベキ関数の片側極限
片側極限に関しても同様の主張が成り立ちます。
命題（整数ベキ関数の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
点\(0\)は整数ベキ関数の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の集積点であるため、\(x\rightarrow 0+\)の場合の右側極限や\(x\rightarrow 0-\)の場合の左側極限について考えることができます。具体的には以下の通りです。
命題（整数ベキ関数の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
+\infty & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right. \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
-\infty & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
+\infty & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right. \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
-\infty & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が成り立つ。
整数ベキ関数の無限大における極限
整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)の無限大における極限は\(n\)の値に依存しますが、あえて公式化するまでもなく、これまで学んだ知識で対応できます。
例（整数ベキ関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{3}}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left(
+\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{3}}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \cdot \left(
-\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{-\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{3}}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left(
+\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{3}}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \cdot \left(
-\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{-\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
例（整数ベキ関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{2}}\quad \because \text{定数倍の法則、商の法則} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) } \\
&=&-2\cdot \frac{1}{+\infty } \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{2}}\quad \because \text{定数倍の法則、商の法則} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) } \\
&=&-2\cdot \frac{1}{+\infty } \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{2}}\quad \because \text{定数倍の法則、商の法則} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) } \\
&=&-2\cdot \frac{1}{+\infty } \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{2}}\quad \because \text{定数倍の法則、商の法則} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) } \\
&=&-2\cdot \frac{1}{+\infty } \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
例（整数ベキ関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{4}\left( 1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{4}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-3}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。やはり、多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{4}\left( 1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{4}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-3}=0 \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{4}\left( 1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{4}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-3}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。やはり、多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{4}\left( 1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{4}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-3}=0 \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。
演習問題
問題（整数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
問題（整数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}\right) ^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \)について、\(x \)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \)について、\(x \)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
