WIIS

関数

整数ベキ関数の極限

目次

前のページ:

自然数ベキ関数の極限

次のページ:

無理関数の極限

Mailで保存
Xで共有

整数ベキ関数の極限

整数ベキ関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}と表されるということです。\(z>0\)の場合には\(f\)は自然数ベキ関数になり、\(z=0\)の場合には\(f\)は定数関数\(1\)になります。自然数ベキ関数や定数関数の極限についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)である状況を想定します。この場合、何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}となります。

ゼロとは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}となります。

命題(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =a^{4}+2a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in \mathbb{R} \)に対して\(a^{4}+2a^{2}+1\not=0\)であるため、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{4}+2a^{2}+1}x^{-3}=\left( a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{-3}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{-3}\)は点\(a^{4}+2a^{2}+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{-3}\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{-4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\not=0\)であるため、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}x^{-4}=\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{-4} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{-4}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

整数ベキ関数の片側極限

片側極限に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(整数ベキ関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

点\(0\)は整数ベキ関数の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の集積点であるため、\(x\rightarrow 0+\)の場合の右側極限や\(x\rightarrow 0-\)の場合の左側極限について考えることができます。具体的には以下の通りです。

命題(整数ベキ関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
+\infty & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right. \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
-\infty & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

整数ベキ関数の無限大における極限

整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)の無限大における極限は\(n\)の値に依存しますが、あえて公式化するまでもなく、これまで学んだ知識で対応できます。

例(整数ベキ関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{3}}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left(
+\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{3}}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \cdot \left(
-\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{-\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

例(整数ベキ関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{2}}\quad \because \text{定数倍の法則、商の法則} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) } \\
&=&-2\cdot \frac{1}{+\infty } \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{2}}\quad \because \text{定数倍の法則、商の法則} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) } \\
&=&-2\cdot \frac{1}{+\infty } \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

例(整数ベキ関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{4}\left( 1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{4}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-3}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。やはり、多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{4}\left( 1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{4}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-3}=0 \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。

 

演習問題

問題(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}\right) ^{-5}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,1,2\right\} \)について、\(x \)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

前のページ:

自然数ベキ関数の極限

次のページ:

無理関数の極限

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録