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整数ベキ関数の極限

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整数ベキ関数の極限

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、負の整数ベキ関数\begin{equation*}\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)は定数関数\(1\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の商であるため、\(\frac{1}{x^{n}}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(整数ベキ関数の極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\frac{1}{x^{n}}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(整数ベキ関数の極限)
整数ベキ関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能であるため、自然数\(n\)を任意に選んだとき、関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(\frac{1}{x^{n}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =a^{4}+2a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は点\(a^{4}+2a^{2}+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{4}+2a^{2}+1}x^{-3}=\left( a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{-3}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{-3}\)は点\(a^{4}+2a^{2}+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{-3}\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(整数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{-4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。整数ベキ関数\(x^{-4}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)の周辺の任意の点において定義されているため、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}x^{-4}=\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{-4} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{-4}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{-4}\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

整数ベキ関数の片側極限

先の命題を踏まえると、片側極限に関する以下の命題が得られます。

命題(整数ベキ関数の片側極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\frac{1}{x^{n}}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\frac{1}{x^{n}}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

例(整数ベキ関数の極限)
自然数\(n\)を任意に選んだとき、有界閉区間上に整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( 1,2\right) \)を任意に選んだとき、整数ベキ関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) =\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(1\)に注目したとき、整数ベキ関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1+}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) =\frac{1}{1^{n}}=1
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(2\)に注目したとき、整数ベキ関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2-}\left( \frac{1}{x^{n}}\right) =\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

整数ベキ関数の無限大における極限

整数ベキ関数\(\frac{1}{x^{n}}\)の無限大における極限は\(n\)の値に依存しますが、あえて公式化するまでもなく、これまで学んだ知識で対応できます。

例(整数ベキ関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{3}} \\
&=&\frac{1}{\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left(
+\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{3}} \\
&=&\frac{1}{\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \cdot \left(
-\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{-\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

例(整数ベキ関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{2}}
\\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) } \\
&=&-2\cdot \frac{1}{+\infty } \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{2}}
\\
&=&-2\cdot \frac{1}{\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) } \\
&=&-2\cdot \frac{1}{+\infty } \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

例(整数ベキ関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{4}+2x^{2}+1\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{4}\left( 1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{4}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-3}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。やはり、多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{4}\left( 1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{4}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
1+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( x^{4}+2x^{2}+1\right) =+\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。整数ベキ関数\(x^{-3}\)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{-3}=0 \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。

次回は無理関数の極限について解説します。

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