自然数ベキ関数の極限
自然数ベキ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{n}
\end{equation*}となります。
命題（自然数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。
例（自然数ベキ関数の極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{2}=a^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}x^{2} &=&1^{2}=1 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x^{2} &=&0^{2}=0 \\
\lim_{x\rightarrow -1}x^{2} &=&\left( -1\right) ^{2}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{2}=a^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}x^{2} &=&1^{2}=1 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x^{2} &=&0^{2}=0 \\
\lim_{x\rightarrow -1}x^{2} &=&\left( -1\right) ^{2}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（自然数ベキ関数の極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{3}=a^{3}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}x^{3} &=&1^{3}=1 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x^{3} &=&0^{3}=0 \\
\lim_{x\rightarrow -1}x^{3} &=&\left( -1\right) ^{3}=-1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{3}=a^{3}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}x^{3} &=&1^{3}=1 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x^{3} &=&0^{3}=0 \\
\lim_{x\rightarrow -1}x^{3} &=&\left( -1\right) ^{3}=-1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（自然数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x^{2}+x+1\)と自然数ベキ関数\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =3a^{3}-2a^{2}+a+1
\quad \cdots (1)
\end{equation}であるとともに、点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\in \mathbb{R} \)において、自然数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{3}-2a^{2}+a+1}x^{3}=\left( 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right)
^{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}となるため、（関数\(x^{3}\)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続）、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left( 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right) ^{3}\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x^{2}+x+1\)と自然数ベキ関数\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =3a^{3}-2a^{2}+a+1
\quad \cdots (1)
\end{equation}であるとともに、点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\in \mathbb{R} \)において、自然数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{3}-2a^{2}+a+1}x^{3}=\left( 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right)
^{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}となるため、（関数\(x^{3}\)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続）、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left( 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right) ^{3}\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（自然数ベキ関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と自然数ベキ関数\(x^{4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。点\(\frac{2a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\)は関数\(x^{4}\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)の集積点であるため、自然数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}x^{4}=\left[ \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{4} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(x^{4}\)は点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{4}\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と自然数ベキ関数\(x^{4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。点\(\frac{2a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\)は関数\(x^{4}\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)の集積点であるため、自然数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}x^{4}=\left[ \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{4} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(x^{4}\)は点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{4}\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
自然数ベキ関数の片側極限
片側極限に関しても同様の主張が成り立ちます。
命題（自然数ベキ関数の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =a^{n} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =a^{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =a^{n} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =a^{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
例（自然数ベキ関数の片側極限）
一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の正方形の面積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるため、定義域の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0^{2}\quad \because \text{自然数ベキ関数の片側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、正方形の辺の長さ\(x\)をゼロに限りなく近づけると面積\(x^{2}\)はゼロに限りなく近づきます。
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるため、定義域の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0^{2}\quad \because \text{自然数ベキ関数の片側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、正方形の辺の長さ\(x\)をゼロに限りなく近づけると面積\(x^{2}\)はゼロに限りなく近づきます。
例（自然数ベキ関数の極限）
一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の立方体の体積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるため、定義域の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{3}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0^{3}\quad \because \text{自然数ベキ関数の片側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、立方体の辺の長さ\(x\)をゼロに限りなく近づけると体積\(x^{3}\)はゼロに限りなく近づきます。
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるため、定義域の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{3}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0^{3}\quad \because \text{自然数ベキ関数の片側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、立方体の辺の長さ\(x\)をゼロに限りなく近づけると体積\(x^{3}\)はゼロに限りなく近づきます。
例（自然数ベキ関数の極限）
物体を初速度\(0\)で自由落下させます。経過時間（秒）が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)である場合の物体の移動距離（メートル）は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}gx^{2}
\end{equation*}となります。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数\(x^{2}\)の定数倍（\(\frac{1}{2}g\)倍）であるため、定義域の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{2}gx^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}g\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad \because \text{関数の定数倍の片側極限} \\
&=&\frac{1}{2}g0^{2}\quad \because \text{自然数ベキ関数の片側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、経過時間\(x\)をゼロに限りなく近づけると移動距離\(\frac{1}{2}gx^{2}\)はゼロに限りなく近づきます。
\end{equation*}となります。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数\(x^{2}\)の定数倍（\(\frac{1}{2}g\)倍）であるため、定義域の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{2}gx^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}g\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad \because \text{関数の定数倍の片側極限} \\
&=&\frac{1}{2}g0^{2}\quad \because \text{自然数ベキ関数の片側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、経過時間\(x\)をゼロに限りなく近づけると移動距離\(\frac{1}{2}gx^{2}\)はゼロに限りなく近づきます。
自然数ベキ関数の無限大における極限
自然数ベキ関数の無限大における極限は以下の通りです。
命題（自然数ベキ関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。正の無限大における極限について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ一方で、負の無限大における極限について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\infty & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
+\infty & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。正の無限大における極限について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ一方で、負の無限大における極限について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\infty & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
+\infty & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
例（自然数ベキ関数の無限大における極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数であるとともに、その指数\(2\)は偶数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2} &=&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} &=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty
}x\right) ^{2}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2} &=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty
}x\right) ^{2}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数であるとともに、その指数\(2\)は偶数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2} &=&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} &=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty
}x\right) ^{2}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2} &=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty
}x\right) ^{2}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（自然数ベキ関数の無限大における極限）
以下の関数\begin{equation*}
x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数であるとともに、その指数\(3\)は奇数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3} &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{3} &=&-\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3} &=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty
}x\right) ^{3}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty
\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{3} &=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty
}x\right) ^{3}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty
\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数であるとともに、その指数\(3\)は奇数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3} &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{3} &=&-\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3} &=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty
}x\right) ^{3}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty
\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{3} &=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty
}x\right) ^{3}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty
\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（自然数ベキ関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-2x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -2x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}\quad \because \text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-2\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{2}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -2x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}\quad \because \text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-2\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{2}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&-2\cdot \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -2x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}\quad \because \text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-2\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{2}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -2x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}\quad \because \text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-2\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{2}\quad \because \text{関数の積の極限} \\
&=&-2\cdot \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（自然数ベキ関数との合成関数の無限大における極限）
\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -x^{2}-4x+7\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
&&\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
&&\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに求めてください。
問題（自然数ベキ関数との合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{5}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{5}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{5x^{2}-8x-13}{x^{2}-5}\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{5}\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{5}\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
問題（自然数ベキ関数との合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 3,-\frac{1}{2}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,-\frac{1}{2}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{4}-81}{2x^{2}-5x-3}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,-\frac{1}{2}\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,-\frac{1}{2}\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
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