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自然数ベキ関数の極限

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自然数ベキ関数の極限

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\(n\)を指数とする自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。自然数ベキ関数\(x^{n}\)は特別な多項式関数であるため、\(x^{n}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{n}=a^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(自然数ベキ関数の極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{n}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{n}=a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(自然数ベキ関数の極限)
自然数ベキ関数は全区間上に定義可能であるため、自然数\(n\)を任意に選んだとき、関数\(x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x^{n}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{n}=a^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(自然数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x^{2}+x+1\)と自然数ベキ関数\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =3a^{3}-2a^{2}+a+1
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。自然数ベキ関数\(x^{3}\)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、自然数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{3}-2a^{2}+a+1}x^{3}=\left( 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right)
^{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{3}\)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left( 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right) ^{3}\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(自然数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と自然数ベキ関数\(x^{4}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。自然数ベキ関数\(x^{4}\)は点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)の周辺の任意の点において定義されているため、自然数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}x^{4}=\left[ \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{4} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{4}\)は点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{4}\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

自然数ベキ関数の片側極限

先の命題を踏まえると、片側極限に関する以下の命題が得られます。

命題(自然数ベキ関数の片側極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{n}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}x^{n}=a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(x^{n}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}x^{n}=a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(自然数ベキ関数の極限)
自然数\(n\)を任意に選んだとき、有界閉区間上に自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)に任意に選んだとき、自然数ベキ関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{n}=a^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、自然数ベキ関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{n}=a^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(1\)に注目したとき、自然数ベキ関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1-}x^{n}=a^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(自然数ベキ関数の極限)
一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の正方形の面積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるため、定義域の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{2}
\end{equation*}が成り立ち、定義域の端点\(0\)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0^{2}=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、辺の長さ\(x\)を特定の実数\(a\)に限りなく近づけると、正方形の面積\(x^{2}\)は\(a^{2}\)に限りなく近づきます。
例(自然数ベキ関数の極限)
一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の立方体の体積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるため、定義域の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a^{2}
\end{equation*}が成り立ち、定義域の端点\(0\)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0^{2}=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、辺の長さ\(x\)を特定の実数\(a\)に限りなく近づけると、立方体の体積\(x^{3}\)は\(a^{3}\)に限りなく近づきます。
例(自然数ベキ関数の極限)
物体を初速度\(0\)で自由落下させます。経過時間(秒)が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるときの物体の移動距離(メートル)は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}gx^{2}
\end{equation*}となります。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数\(x^{2}\)の定数倍(\(\frac{1}{2}g\)倍)であるため、定義域の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{2}ga^{2}
\end{equation*}が成り立ち、定義域の端点\(0\)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\frac{1}{2}g0^{2}=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、経過時間\(x\)を特定の実数\(a\)に限りなく近づけると、物体の移動距離は\(\frac{1}{2}ga^{2}\)に限りなく近づきます。

 

自然数ベキ関数の無限大における極限

自然数ベキ関数\(x^{n}\)の無限大における極限は指数\(n\)の値に依存しますが、あえて公式化するまでもなく、これまで学んだ知識で対応できます。

例(自然数ベキ関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}x^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{3}\quad \because \text{発散する関数の積} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty
\right) \quad \because \lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left(
+\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) =+\infty \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}x^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{3}\quad \because \text{発散する関数の積} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty
\right) \quad \because \lim_{x\rightarrow -\infty }x=-\infty \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left(
-\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) =+\infty \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。

例(自然数ベキ関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-2x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -2x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}\quad \because \text{発散する数列の定数倍} \\
&=&-2\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }x\right) ^{2}\quad \because \text{発散する数列の積} \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad
\because \lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( +\infty \right)
\cdot \left( +\infty \right) =+\infty \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -2x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-2\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}\quad \because \text{発散する数列の定数倍} \\
&=&-2\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }x\right) ^{2}\quad \because \text{発散する数列の積} \\
&=&-2\cdot \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \quad
\because \lim_{x\rightarrow -\infty }x=-\infty \\
&=&-2\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( -\infty \right)
\cdot \left( -\infty \right) =+\infty \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。

例(自然数ベキ関数の無限大における極限)
\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -x^{2}-4x+7\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(-x^{2}-4x+7\)と自然数ベキ関数\(x^{5}\)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -x^{2}-4x+7\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\left[ x^{2}\left( -1-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
-1-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( -1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -x^{2}-4x+7\right) =-\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。自然数ベキ関数\(x^{5}\)は限りなく小さい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{5}=-\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}となります。やはり、多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -x^{2}-4x+7\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }\left[ x^{2}\left( -1-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
-1-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^{2}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( -1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -x^{2}-4x+7\right) =-\infty \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。自然数ベキ関数\(x^{5}\)は限りなく小さい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{5}=-\infty \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}となります。

 

演習問題

問題(自然数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{5}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{5}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{5x^{2}-8x-13}{x^{2}-5}\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{5}\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
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問題(自然数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 3,-\frac{1}{2}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,-\frac{1}{2}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{4}-81}{2x^{2}-5x-3}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3,-\frac{1}{2}\right\} \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
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次回は整数を指数として持つベキ関数の極限について解説します。

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